Technical Note - ベータ関数
ベータ関数とは
実部が正であるような複素数 $x, y$ に対して、以下の式で定義される関数。
\[B(x, y) := \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt\]
（描画に使った Python コード）
import numpy as np
from scipy import special
from matplotlib import pyplot as plt
x = np.arange(start=0.05, stop = 3.0, step=0.01)
y = np.arange(start=0.05, stop = 3.0, step=0.01)
x_grid, y_grid = np.meshgrid(x, y)
z = special.beta(x_grid, y_grid)
fig = plt.figure(figsize=(9, 8))
ax = fig.add_subplot(projection='3d') # 3D用の設定
ax.plot_surface(x_grid, y_grid, z, cmap='jet', alpha=0.6) # 曲面図
ax.contour(x_grid, y_grid, z, cmap='jet', offset=z.min()) # 等高線図
ax.set_xlabel('$y$') # x軸ラベル
ax.set_ylabel('$x$') # y軸ラベル
ax.set_zlabel('$B(x, y)$') # z軸ラベル
plt.show() # 描画
ベータ関数の性質
特別な引数のときのベータ関数の値
【定理】
\[\begin{eqnarray} & B(1, 1) & = 1 \\ & B\left( \cfrac{1}{2}, \cfrac{1}{2} \right) & = \pi \end{eqnarray}\]
【証明】
\[\begin{eqnarray} B(1, 1) &=& \int_0^1 t^0 (1-t)^0 dt \\ &=& \int_0^1 1 dt \\ &=& [t]_{0}^{1} \\ &=& 1 \\ B\left( \cfrac{1}{2}, \cfrac{1}{2} \right) &=& \int_0^1 t^{-1/2} (1-t)^{-1/2} dt \\ &=& \int_0^1 \cfrac{1}{\sqrt{ t(1-t) }} dt \\ &=& \int_0^1 \cfrac{1}{\sqrt{ \frac{1}{4} - (t-\frac{1}{2})^2 }} dt \\ &=& \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cfrac{1}{\sqrt{ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \sin^2 \theta }} \left( \cfrac{1}{2} \cos \theta d\theta \right) \qquad \left( t - \cfrac{1}{2} = \cfrac{1}{2} \sin \theta, \cfrac{dt}{d\theta} = \cfrac{1}{2} \cos \theta \right) \\ &=& \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cfrac{\cos \theta}{\sqrt{ 1 - \sin^2 \theta }} d\theta \\ &=& \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 d\theta \\ &=& [\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} \\ &=& \cfrac{\pi}{2} - \left( - \cfrac{\pi}{2} \right) \\ &=& \pi \end{eqnarray}\]対称性
【定理】
\[B(x, y) = B(y, x) \qquad (1)\]
【証明】
\[\begin{eqnarray} B(x, y) &=& \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt \\ &=& \int_1^0 (1-s)^{x-1} s^{y-1} (-ds) \qquad (s = 1 - t) \\ &=& \int_0^1 s^{y-1} (1-s)^{x-1} ds \\ &=& B(y, x) \end{eqnarray}\]+1だけ異なる場合のベータ関数
【定理】
\[\begin{eqnarray} B(x, y+1) &=& \cfrac{y}{x} B(x+1, y) & \qquad & (2) \\ B(x, y+1) &=& \cfrac{y}{x+y} B(x, y) & \qquad & (3) \\ B(x+1, y) &=& \cfrac{x}{x+y} B(x, y) & \qquad & (4) \end{eqnarray}\]
【証明】
まず $(2)$ を示す。
\[\begin{eqnarray} B(x, y+1) &=& \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^y dt \\ &=& \left[ \cfrac{1}{x} t^x (1-t)^y \right]_0^1 - \int_0^1 \cfrac{-y}{x} t^x (1-t)^{y-1} dt \\ &=& (0 - 0) + \cfrac{y}{x} \int_0^1 t^x (1-t)^{y-1} dt \\ &=& \cfrac{y}{x} B(x+1, y) \end{eqnarray}\]次に $(3)$ を示す。
\[\begin{eqnarray} B(x, y+1) &=& \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^y dt \\ &=& \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} (1-t) dt \\ &=& \int_0^1 \left( t^{x-1} (1-t)^{y-1} \cdot 1 - t^{x-1} (1-t)^{y-1} \cdot t \right) dt \\ &=& \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt - \int_0^1 t^x (1-t)^{y-1} dt \\ &=& B(x, y) - B(x+1, y) \\ &=& B(x, y) - \cfrac{x}{y} B(x, y+1) \qquad (\mathrm{by}\ \ (2)) \end{eqnarray}\]最後の式の第二項を移行すれば、
\[\cfrac{x + y}{y} B(x, y+1) = B(x, y)\]したがって
\[B(x, y+1) = \cfrac{y}{x + y} B(x, y)\]最後に $(4)$ を示す。
\[\begin{eqnarray} B(x+1, y) &=& \cfrac{x}{y} B(x, y+1) & \qquad & (\mathrm{by}\ \ (2)) \\ &=& \cfrac{x}{y} \cfrac{y}{x+y} B(x, y) & \qquad & (\mathrm{by}\ \ (3)) \\ &=& \cfrac{x}{x + y} B(x, y) \end{eqnarray}\]ガンマ関数との関係
【定理】 ガンマ関数 $\Gamma(z)$ を用いて、ベータ関数を以下のように表せる。
\[B(x, y) = \cfrac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \qquad (5)\]
【証明】
（複雑なので省略）
三角関数の積分としての表現
【定理】 ベータ関数は三角関数の積分を使って以下の形式で表せる。
\[B(x, y) = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1} \theta d \theta \qquad (6)\]
【証明】
ベータ関数の積分範囲は $0 \le t \le 1$ なので、$t = \sin^2 \theta$ と置ける。
- $t: 0 \to 1$ のとき $\theta : 0 \to \pi / 2$
- $1 - t = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$
- $dt/d\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$
であるから、
\[\begin{eqnarray} B(x, y) &=& \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt \\ &=& \int_0^{\pi/2} (\sin^2 \theta)^{x-1} (\cos^2 \theta)^{y-1} (2 \sin \theta \cos \theta d \theta) \\ &=& 2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1} \theta d \theta \end{eqnarray}\]【例】
\[\begin{eqnarray} \int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta \cos \theta d \theta &=& \int_0^{\pi/2} \sin^{2 \cdot 2 - 1} \theta \cos^{2 \cdot 1 - 1} \theta d \theta \\ &=& \cfrac{1}{2} B (2, 1) \\ &=& \cfrac{1}{2} \cfrac{1}{1+1} B (1, 1) \\ &=& \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot 1 \\ &=& \cfrac{1}{4} \\ \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta \cos^2 \theta d \theta &=& \int_0^{\pi/2} \sin^{2 \cdot \frac{3}{2} - 1} \theta \cos^{2 \cdot \frac{3}{2} - 1} \theta d \theta \\ &=& \cfrac{1}{2} B \left( \cfrac{3}{2}, \cfrac{3}{2} \right) \\ &=& \cfrac{1}{2} \cfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} B \left( \cfrac{3}{2}, \cfrac{1}{2} \right) \\ &=& \cfrac{1}{2} \cfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} B \left( \cfrac{1}{2}, \cfrac{1}{2} \right) \\ &=& \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot \pi \\ &=& \cfrac{\pi}{16} \end{eqnarray}\]