Technical Note - 拡散方程式
定義
時刻 $t$、空間座標 $x$ を変数に持つ関数 $u(x,t)$ に関する偏微分方程式
\[\cfrac{\partial u}{\partial t} = \kappa \cfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \qquad (\kappa = \mathrm{const.}) \tag{1}\]を 拡散方程式 という。
導出
前提
- 微小距離 $\Delta x$ ごとに空間を区切り、区切られた微小領域間の物理量の受け渡しを考える
- 微小時間 $\Delta t$ の間に隣の領域に渡される物理量は、その空間の物質濃度 $u(x,t)$ に比例：比例定数 $c$
微小時間 $\Delta t$ の間の物質の移動を考えると、
- 座標 $x$ の微小領域から両隣の微小領域 $x+\Delta x,\ x-\Delta x$ へ出ていく物質の量：それぞれ $cu(x, t)$
- 両隣の微小領域 $x+\Delta x,\ x-\Delta x$ から座標 $x$ の微小領域へ入ってくる物質の量：それぞれ $cu(x+\Delta x,t),\ cu(x-\Delta x,t)$
以上により、座標 $x$ における物質の変化量の式を立てると、
\[u(x, t + \Delta t) - u(x,t) = - 2c u(x, t) + cu(x+\Delta x,t) + cu(x-\Delta x,t)\]左辺・右辺をそれぞれ変形して、
\[\begin{eqnarray} u(x, t + \Delta t) - u(x,t) &=& \cfrac{u(x, t + \Delta t) - u(x,t)}{\Delta t} \Delta t \\ &\simeq& \cfrac{\partial u}{\partial t} \Delta t \\ \\ - 2c u(x, t) + cu(x+\Delta x,t) + cu(x-\Delta x,t) &=& c \Delta x \left\{ \cfrac{u(x+\Delta x,t) - u(x,t)}{\Delta x} - \cfrac{u(x,t)-u(x-\Delta x,t)}{\Delta x} \right\} \\ &\simeq& c \Delta x \left\{ \cfrac{\partial u}{\partial x}(x,t) - \cfrac{\partial u}{\partial x}(x-\Delta x,t) \right\} \\ &=& c (\Delta x)^2 \cfrac{ \cfrac{\partial u}{\partial x}(x,t) - \cfrac{\partial u}{\partial x}(x-\Delta x,t) }{\Delta x} \\ &\simeq& c (\Delta x)^2 \cfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \end{eqnarray}\]以上より、
\[\cfrac{\partial u}{\partial t} \Delta t = c (\Delta x)^2 \cfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]$\kappa := \cfrac{c (\Delta x)^2}{\Delta t}$ とおけば、拡散方程式 $(1)$ を得る。
一般解
変数分離法で解く。
\[u(x, t) = f(x)g(t)\]と置いて $(1)$ に代入すると、
\[f(x) \cfrac{d g(t)}{d t} = \kappa \cfrac{d^2 f(x)}{d x^2} g(t)\]よって
\[\cfrac{1}{g(t)} \cfrac{d g(t)}{d t} = \kappa \cfrac{1}{f(x)} \cfrac{d^2 f(x)}{d x^2}\]左辺は $t$ だけの式、右辺は $x$ だけの式であるから、これが任意の $x, t$ で成り立つ場合、この式の値は定数。
この定数を $a$ と置くと、
それぞれを解く。$A_1, A_2, B$ を積分定数として、
$(i)\ a=0$ のとき
\[\begin{eqnarray} f(t) &=& A_1 t + A_2 \\ g(t) &=& B \end{eqnarray}\]$(ii)\ a \gt 0$ のとき
\[\begin{eqnarray} f(x) &=& A_1 e^{\sqrt{a/\kappa}x} + A_2 e^{-\sqrt{a/\kappa}x} \\ g(t) &=& B e^{at} \end{eqnarray}\]$(iii)\ a \lt 0$ のとき、$a = -\omega\ (\omega \gt 0)$ とおけば
\[\begin{eqnarray} f(x) &=& A_1 \sin \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}x + A_2 \cos \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}x \\ g(t) &=& B e^{-\omega t} \end{eqnarray}\]$a=0, a\gt 0$ の解は時間とともに発散するため、実際の物理現象を記述するには不適。
したがって微分方程式 $(1)$ の解は
$BA_1, BA_2 \to S, C$ と置き換えれば、
\[u_\omega (x, t) = e^{-\omega t} \left( S \sin \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}x + C \cos \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}x \right)\]ここで、任意の $\omega \gt 0$ に対して $(1)$ は成り立つ。また実際に計算してみれば明らかなように、任意の異なる $\omega = \omega_1, \omega_2$ に対してそれらの重ね合わせ（和）である $u_{\omega_1}(x,t)+u_{\omega_2}(x,t)$ も $(1)$ を満たす。
したがって、$(1)$ の一般解は
積分定数 $S_\omega,C_\omega$ は境界条件や初期条件を課すことで定まる。
境界条件と特殊解
境界条件
外部の環境が一定である場合の境界条件
境界において物理量 $u(x,t)$ （濃度など）を一定とすれば良いので、境界の座標を $x_0$ とすると境界条件は
\[u(x_0, t) = \alpha = \mathrm{const.}\]これはディリクレ条件に相当する。
外部とのやりとりがない場合の境界条件
境界において物理量 $u(x,t)$ が座標によって変化しなければ良いので、
\[\cfrac{\partial u}{\partial x}(x_0, t) = 0\]これはノイマン条件に相当する。
特殊解の例
外部の環境が一定
定義域を $0 \le x \le L,\ 0 \le t$ として、
- 境界条件：
- $u(0,t) = 0$
- $u(L, t) = 0$
- 初期条件：
- 初期濃度：$u(x, 0) = U_0 \sin \cfrac{2\pi x}{L}$
$(2)$ 式に境界条件・初期条件を適用して、
\[\begin{cases} \sum_{\omega} e^{-\omega t} C_\omega = 0 \\ \\ \sum_{\omega} e^{-\omega t} \left( S_\omega \sin \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}L + C_\omega \cos \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}L \right) = 0 \\ \\ \sum_{\omega} \left( S_\omega \sin \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}x + C_\omega \cos \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}x \right) = U_0 \sin \cfrac{2\pi x}{L} \end{cases}\]第1式が任意の時刻 $t$ で成り立つためには、
\[C_\omega = 0\]第2式に代入して、
\[\sum_{\omega} e^{-\omega t} S_\omega \sin \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}L = 0\]これが任意の時刻 $t$ で成り立ち、かつ、$C_\omega=S_\omega=0$ のような無意味な解にならないためには、
\[\begin{eqnarray} &\sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}L = n\pi \quad (n = 1, 2, \cdots) \\ \Longleftrightarrow \quad & \omega = \kappa \left( \cfrac{n\pi}{L} \right)^2 \end{eqnarray}\]以上を第3式に代入し、以後 $n$ を用いて議論するために $S_\omega \to S(n)$ と書き換えると、
\[\sum_{n=1}^\infty S(n) \sin \cfrac{n\pi x}{L} = U_0 \sin \cfrac{2\pi x}{L}\]これらが任意の $x$ について成り立つため、
\[\begin{cases} S(n) = U_0 \qquad &(\mathrm{if}\quad n=2) \\ \\ S(n) = 0 \qquad &(\mathrm{if}\quad n \ne 2) \end{cases}\]以上により、
\[u(x,t) = U_0 \exp{\left\{ -\kappa \left( \cfrac{2\pi}{L} \right)^2 t \right\}} \sin \cfrac{2\pi x}{L}\]（cf. 描画に使った python コード）
外部とのやりとりがない
定義域を $0 \le x \le L,\ 0 \le t$ として、
- 境界条件：
- $\cfrac{\partial u}{\partial x}(0,t) = 0$
- $\cfrac{\partial u}{\partial x}(L, t) = 0$
- 初期条件：
- 初期濃度：$u(x, 0) = U_0 \cos \cfrac{2\pi x}{L}$
$(2)$ 式に境界条件・初期条件を適用して、
\[\begin{cases} \sum_{\omega} e^{-\omega t} \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}} S_\omega = 0 \\ \\ \sum_{\omega} e^{-\omega t} \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}} \left( S_\omega \cos \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}} L - C_\omega \sin \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}} L \right) = 0 \\ \\ \sum_{\omega} \left( S_\omega \sin \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}x + C_\omega \cos \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}x \right) = U_0 \cos \cfrac{2\pi x}{L} \end{cases}\]第1式が任意の時刻 $t$ で成り立つためには、
\[S_\omega = 0\]第2式に代入して、
\[- \sum_{\omega} e^{-\omega t} \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}} C_\omega \sin \sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}L = 0\]これが任意の時刻 $t$ で成り立ち、かつ、$S_\omega=C_\omega=0$ のような無意味な解にならないためには、
\[\begin{eqnarray} &\sqrt{\cfrac{\omega}{\kappa}}L = n\pi \quad (n = 1, 2, \cdots) \\ \Longleftrightarrow \quad & \omega = \kappa \left( \cfrac{n\pi}{L} \right)^2 \end{eqnarray}\]以上を第3式に代入し、以後 $n$ を用いて議論するために $C_\omega \to C(n)$ と書き換えると、
\[\sum_{n=1}^\infty C(n) \cos \cfrac{n\pi x}{L} = U_0 \cos \cfrac{2\pi x}{L}\]これらが任意の $x$ について成り立つため、
\[\begin{cases} C(n) = U_0 \qquad &(\mathrm{if}\quad n=2) \\ \\ C(n) = 0 \qquad &(\mathrm{if}\quad n \ne 2) \end{cases}\]以上により、
\[u(x,t) = U_0 \exp{\left\{ -\kappa \left( \cfrac{2\pi}{L} \right)^2 t \right\}} \cos \cfrac{2\pi x}{L}\]（cf. 描画に使った python コード）