歪正規分布とは

確率密度関数

与えられたパラメータ $\lambda \gt 0$ に対し、

\[f_\lambda (x) = 2 \phi(x) \Phi (\lambda x)\]

ただし、$\phi(x)$ は標準正規分布の確率密度関数

\[\phi(x) := \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( - \cfrac{x^2}{2} \right)\]

$\Phi(x)$ はその累積密度関数

\[\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \phi(t) dt = \cfrac{1}{2} \left( 1 + \mathrm{erf} \left( \cfrac{x}{\sqrt{2}} \right) \right)\]

$\mathrm{erf}$ は誤差関数。

import numpy
from scipy.special import erf
from matplotlib import pyplot as plt

x = np.linspace(-5, 5, 501)

def skew_norm(x, lamb):
	return 2 * np.exp(-x*x/2.0)/np.sqrt(2*np.pi) * (1+erf(lamb*x/np.sqrt(2)))/2.0

for lamb in [-4, -2, 0, 2, 4]:
	y = skew_norm(x, lamb)
	plt.plot(x, y, label=r'$\lambda={}$'.format(lamb))

plt.legend()
plt.grid()
plt.show()