テイラー展開とは

$x=a$ 近傍において無限回微分可能な関数 $f(x)$ の $n$ 階微分を $f^{(n)}(x)$ とすると、$f(x)$ は

\[f(x) = f(a) + \cfrac{f^{(1)}(a)}{1!} (x-a) + \cfrac{f^{(2)}(a)}{2!} (x-a)^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n\]

という無限級数の和に展開できる（厳密には例外があるらしい？）。 これを $f(x)$ の $x=a$ のまわりでのテイラー展開 とよび、特に $a=0$ のときを マクローリン展開 と呼ぶ。

テイラー展開の利用

$x-a \ll 1$ であるような $x=a$ 近傍において、$f(x)$ を $x-a$ の低次多項式に近似できる。

1次の近似：

\[f(x) \simeq f(a) + \cfrac{f^{(1)}(a)}{1!} (x-a)\]

2次の近似：

\[f(x) \simeq f(a) + \cfrac{f^{(1)}(a)}{1!} (x-a) + \cfrac{f^{(2)}(a)}{2!} (x-a)^2\]