ガンマ関数とは

実部が正であるような複素数 $z$ に対して、以下の式で定義される関数。

\[\Gamma(z) := \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt\]

後述の性質から、「階乗の一般化（整数以外への階乗の拡張）」と言える。

（描画に使った Python コード）

import numpy as np
import math
from matplotlib import pyplot as plt

np_gamma = np.frompyfunc(math.gamma, 1, 1)
x = np.linspace(1e-4, 5, 1000)
y = np_gamma(x)
plt.ylim([0, 10])
plt.xlabel(r'$z$', fontsize=18)
plt.ylabel(r'$\Gamma(z)$', fontsize=18)
plt.plot(x, y)
plt.grid()
plt.show()

ガンマ関数の性質

漸化式

【定理】

\[\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)\]

【証明】

\[\begin{eqnarray} \Gamma(z+1) &=& \int_0^\infty t^z e^{-t} dt \\ &=& \left[ -t^z e^{-t} \right]_0^\infty - \int_0^\infty (-z t^{z-1} e^{-t}) dt \\ &=& z \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt \\ &=& z \Gamma(z) \end{eqnarray}\]

途中、$\mathrm{Re}\ z \gt 0$ より

\[\begin{eqnarray} \left[ -t^z e^{-t} \right]_0^\infty &=& \lim_{t \to \infty} (-t^z e^{-t}) - 0 \cdot 1 \\ &=& 0 \end{eqnarray}\]

となることを用いた。

特別な引数のときのガンマ関数の値

【定理】

\[\begin{eqnarray} \Gamma(1) &=& 1 \\ \Gamma(1/2) &=& \sqrt{\pi} \end{eqnarray}\]

【証明】

\[\begin{eqnarray} \Gamma(1) &=& \int_0^\infty t^{1-1} e^{-t} dt \\ &=& \int_0^\infty e^{-t} dt \\ &=& \left[ -e^{-t} \right]_0^\infty \\ &=& (-0) - (-1) \\ &=& 1 \\ \Gamma(1/2) &=& \int_0^\infty t^{1/2-1} e^{-t} dt \\ &=& \int_0^\infty \cfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}} dt \\ &=& \int_0^\infty \cfrac{e^{-s^2}}{s} 2s\ ds \qquad (s = \sqrt{t} \to dt = 2s \cdot ds) \\ &=& 2 \int_0^\infty e^{-s^2} ds \\ &=& 2 \cdot \cfrac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty e^{-s^2} ds \\ &=& \sqrt{\pi} \qquad (\mathrm{Gaussian}\ \mathrm{integral}) \end{eqnarray}\]

階乗の一般化

【定理】

$n$ が整数のとき、

\[\Gamma(n) = (n-1)!\]

【証明】

ここまでに示した定理から、

\[\begin{eqnarray} \Gamma(n) &=& (n-1) \Gamma(n-1) \\ &=& (n-1) (n-2) \Gamma(n-2) \\ &=& \cdots \\ &=& (n-1)! \Gamma(1) \\ &=& (n-1)! \end{eqnarray}\]