同時確率分布とは

複数の確率変数の組が同時に実現する確率の分布。

それぞれの確率変数が離散型確率変数であれば 同時確率質量関数、連続であれば 同時確率密度関数 で表される。

同時確率分布の性質

同時確率密度の変数変換

【定理】

$n$ 個の確率変数 $\boldsymbol{X} = (X_1, \cdots, X_n)$ の同時確率密度関数を $f_{X}(x_1, \cdots, x_n)$ とする。
確率変数 $\boldsymbol{X}$ を逆変換可能・微分可能な実数値関数によって別の確率変数 $\boldsymbol{Y} = (Y_1(\boldsymbol{X}), \cdots, Y_n(\boldsymbol{X}))$ に変換するとき、$\boldsymbol{Y}$ の同時確率密度関数 $f_Y(y_1, \cdots, y_n)$ は以下の式で表される。

\[f_Y(y_1, \cdots, y_n) = f_X(x_1, \cdots, x_n) \det J\]

ただし、$\det J$ は行列 $J$ の行列式であり、$J$ はヤコビ行列

\[J = \begin{pmatrix} \cfrac{\partial x_1}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial y_2} & \cdots & \cfrac{\partial x_1}{\partial y_n} \\ \cfrac{\partial x_2}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_2}{\partial y_2} & \cdots & \cfrac{\partial x_2}{\partial y_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \cfrac{\partial x_n}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_n}{\partial y_2} & \cdots & \cfrac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{pmatrix}\]

【証明】

確率変数 $\boldsymbol{Y}$ の累積分布関数 $F_Y(y_1, \cdots, y_n)$ は、

\[\begin{eqnarray} F_Y(y_1, \cdots, y_n) &=& P(Y_1 \le y1, \cdots, Y_n \le y_n) \\ &=& \int_{Y_1(\boldsymbol{x}) \le y_1, \cdots, Y_n(\boldsymbol{x}) \le y_n} f_X(x_1, \cdots, x_n) dx_1 \cdots dx_n \\ &=& \int_{-\infty}^{y_n} \cdots \int_{-\infty}^{y_1} f_X(x_1(\boldsymbol{y}), \cdots, x_n(\boldsymbol{y})) |J| dy_1 \cdots dy_n \end{eqnarray}\]

最後の変換では、重積分の変数変換の公式を用いた。

確率密度関数を求めるには、累積分布関数を微分すれば良いので、

\[\begin{eqnarray} f_Y(y_1, \cdots, y_n) &=& \cfrac{\partial^n}{\partial y_1 \cdots \partial y_n} F_Y(y_1, \cdots, y_n) \\ &=& f_X(x_1(\boldsymbol{y}), \cdots, x_n(\boldsymbol{y})) |J| \end{eqnarray}\]