Technical Note - 三重積
スカラー三重積
定義
3つの3次元ベクトル $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ に関して、
\[\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\]で表される計算のこと。
性質
行列式での表現：
\[\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix} \tag{1.1}\]
外積 $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ を計算すると
\[\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} = \mathrm{det} \begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_y c_z - b_z c_y \\ b_z c_x - b_x c_z \\ b_x c_y - b_y c_x \end{pmatrix}\]であるから、
\[\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = (a_x, a_y, a_z) \begin{pmatrix} b_y c_z - b_z c_y \\ b_z c_x - b_x c_z \\ b_x c_y - b_y c_x \end{pmatrix} = a_x(b_y c_z - b_z c_y) + a_y(b_z c_x - b_x c_z) + a_z(b_x c_y - b_y c_x)\]また、
\[\mathrm{det} \begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix} = a_x b_y c_z + a_y b_z c_x + a_z b_x c_y - a_x b_z c_y - a_y b_x c_z - a_z b_y c_x\]以上により、$(1.1)$ が成り立つ。
循環性：
\[\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}) = \boldsymbol{c} \cdot (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \tag{1.2}\]
$(1.1)$ の証明で計算した $\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$ の成分表示の式を $b_x,b_y,b_z$ でくくると、
\[\begin{eqnarray} \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) &=& b_x(c_y a_z - c_z a_y) + b_y(c_z a_x - c_x a_z) + b_z(c_x a_y - c_y a_x) \\ &=& (b_x, b_y, b_z) \begin{pmatrix} c_y a_z - c_z a_y \\ c_z a_x - c_x a_z \\ c_x a_y - c_y a_x \end{pmatrix} \\ &=& \boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}) \end{eqnarray}\]同様に $c_x,c_y,c_z$ でくくると、
\[\begin{eqnarray} \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) &=& c_x(a_y b_z - a_z b_y) + c_y(a_z b_x - a_x b_z) + c_z(a_x b_y - a_y b_x) \\ &=& (c_x, c_y, c_z) \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix} \\ &=& \boldsymbol{c} \cdot (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \end{eqnarray}\]以上により、$(1.2)$ が成り立つ。
スカラー三重積は、3つのベクトル $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ を3辺とする平行六面体の体積 $V$ に一致する：
\[V = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \tag{1.3}\]
まず、$\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ の長さが $\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ を2辺とする平行四辺形の面積 $S$ と一致することを示す。
\[\vert \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} \vert = \sqrt{ (b_y c_z - b_z c_y)^2 + (b_z c_x - b_x c_z)^2 + (b_x c_y - b_y c_x)^2 }\]$\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ の間の角を $\theta$ とすると、$\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ の内積は
\[\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} = \vert\boldsymbol{b}\vert \vert\boldsymbol{c}\vert \cos\theta\]であるから、
\[\begin{eqnarray} S &=& \vert\boldsymbol{b}\vert \vert\boldsymbol{c}\vert \sin\theta \\ &=& \vert\boldsymbol{b}\vert \vert\boldsymbol{c}\vert \sqrt{1-\cos^2\theta} \\ &=& \vert\boldsymbol{b}\vert \vert\boldsymbol{c}\vert \sqrt{ 1 - \cfrac{ (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})^2 }{ \vert\boldsymbol{b}\vert^2 \vert\boldsymbol{c}\vert^2 } } \\ &=& \sqrt{ \vert\boldsymbol{b}\vert^2 \vert\boldsymbol{c}\vert^2 - (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})^2 } \\ &=& \sqrt{ (b_x^2+b_y^2+b_z^2)(c_x^2+c_y^2+c_z^2) - (b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z)^2 } \\ &=& \sqrt{ (b_x^2c_y^2+b_y^2c_x^2-2b_xb_yc_xc_y) + (b_y^2c_z^2+b_z^2c_y^2-2b_yb_zc_yc_z) + (b_z^2c_x^2+b_x^2c_z^2-2b_zb_xc_zc_x) } \\ &=& \sqrt{ (b_xc_y-b_yc_x)^2 + (b_yc_z-b_zc_y)^2 + (b_zc_x-b_xc_z)^2 } \\ &=& \vert \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} \vert \end{eqnarray}\]次に、$\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ で定まる平行四辺形を底面と見て、平行六面体の高さ $h$ を求める。
外積の性質から、ベクトル $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ は $\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 両方に垂直。
よって、$\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ は平行六面体の高さ方向のベクトルである。
したがって、$\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ がなす角を $\phi$ とすると、$h$ は $\boldsymbol{a}$ の高さ方向の成分であるから、
\[h = \vert \boldsymbol{a} \vert \cos \phi\]$\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ の内積を計算すると
\[\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \vert \boldsymbol{a} \vert \vert \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} \vert \cos \phi\]なので、
\[h = \vert \boldsymbol{a} \vert \cos \phi = \cfrac{\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})}{\vert \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} \vert}\]以上により、平行六面体の体積 $V$ は、
\[V = Sh = \vert \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} \vert \cfrac{\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})}{\vert \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} \vert} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\]以上により、$(1.3)$ が成り立つ。
ベクトル三重積
3つの3次元ベクトル $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ に関して、
\[\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\]で表される計算のこと。
性質
\[\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} \tag{2.1}\]\[\begin{eqnarray} \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) &=& \mathrm{det} \begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ a_x & a_y & a_z \\ (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_x & (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_y & (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_z \end{pmatrix} \\ &=& \det \begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_y c_z - b_z c_y & b_z c_x - b_x c_z & b_x c_y - b_y c_x \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} a_y(b_x c_y - b_y c_x) - a_z(b_z c_x - b_x c_z) \\ a_z(b_y c_z - b_z c_y) - a_x(b_x c_y - b_y c_x) \\ a_x(b_z c_x - b_x c_z) - a_y(b_y c_z - b_z c_y) \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} (a_y c_y + a_z c_z) b_x - (a_y b_y + a_z b_z) c_x \\ (a_x c_x + a_z c_z) b_y - (a_x b_x + a_z b_z) c_y \\ (a_x c_x + a_y c_y) b_z - (a_x b_x + a_y b_y) c_z \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} (a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) b_x - (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) c_x \\ (a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) b_y - (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) c_y \\ (a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) b_z - (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) c_z \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) b_x - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) c_x \\ (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) b_y - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) c_y \\ (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) b_z - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) c_z \end{pmatrix} = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} \end{eqnarray}\]
\[\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) + \boldsymbol{b} \times (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}) + \boldsymbol{c} \times (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{0} \tag{2.2}\]
$(2.1)$ より
\[\begin{eqnarray} \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) + \boldsymbol{b} \times (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}) + \boldsymbol{c} \times (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) &=& \{(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}\} + \{(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}) \boldsymbol{c} - (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{a}\} + \{(\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{a} - (\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}) \boldsymbol{b}\} \\ &=& (\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{b} - \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} - \boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}) \boldsymbol{b} + (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} - \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} \\ &=& \boldsymbol{0} \end{eqnarray}\]最後の計算では、内積の交換可能性（$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$）を用いた。