行列のトレースとは

$n$ 次正方行列 $A$ に対して、対角成分 $a_{ii}$ の和を取ったものを $A$ のトレース と呼び、$\mathrm{tr}\ A$ で表す。

\[\mathrm{tr}\ A = \sum_{i=1}^n a_{ii}\]

トレースの性質

固有値との関係

【定理】

正方行列 $A$ に対して、$\mathrm{tr}\ A$ は重複度も含めた $A$ の固有値の和になる

【証明】

$n$ 次正方行列 $A$ の特性方程式は、

\[\det \begin{pmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{pmatrix} = 0\]

左辺を展開すると、$\lambda$ の $n-2$ 次以下の項を $O(\lambda^{n-2})$ として、

\[\lambda^n - (a_{11} + \cdots + a_{nn}) \lambda^{n-1} + O(\lambda^{n-2}) = 0 \qquad\qquad (1)\]

また、$A$ の固有値 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ は特性方程式の解であるから、この特性方程式は

\[(\lambda - \lambda_1) (\lambda - \lambda_2) \cdots (\lambda - \lambda_n) = 0\]

とも書ける。左辺を展開すると、

\[\lambda^n - (\lambda_1 + \cdots + \lambda_n) \lambda^{n-1} + O(\lambda^{n-2}) = 0 \qquad\qquad (2)\]

$(1),(2)$ を比較して、

\[\sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \mathrm{tr}\ A\]

行列の内積

【定理】

$n$ 次正方行列 $A, B$ に対して、$\mathrm{tr} (AB^T)$ は $A, B$ の内積になる：

\[\mathrm{tr} (AB^T) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ij}\]

【証明】

行列 $AB^T$ の対角成分 $(AB^T)_{ii}$ は、

\[(AB^T)_{ii} = \sum_{j=1}^n a_{ij} (B^T)_{ji} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{ij}\]

したがって、

\[\mathrm{tr} (AB^T) = \sum_{i=1}^n (AB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ij}\]

可換性

【定理】

$n$ 次正方行列 $A, B$ に対して、

\[\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\]

【証明】

（ToDo）