直交変換とは

$\mathbb{R}^n$ 空間におけるベクトルを $n$ 次の直交行列 $A$ で線形変換する操作を 直交変換 という。

\[\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^n \to A \boldsymbol{v}\]

任意のベクトル $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ について、直交行列 $A$ で線形変換 $A\boldsymbol{a}, A\boldsymbol{b}$ を行うと、変換前と変換後で $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ の内積は変化しない：

\[\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = (A\boldsymbol{a}) \cdot (A\boldsymbol{b})\]