Technical Note - 行列の対角化
行列の対角化とは
$n$ 次正方行列 $A$ に対して、$D := P^{-1}AP$ が対角行列になるような正則行列 $P$ が存在するとき、行列 $A$ は 対角化可能 であるといい、この変換操作を 対角化 という。
対角化可能であるための必要十分条件
【定理】
- $n$ 次正方行列 $A$ が対角化可能であるための必要十分条件は、$A$ が線形独立な $n$ 個の固有値ベクトル $\boldsymbol{u}_1, \cdots, \boldsymbol{u}_n$ を持つ（固有ベクトルを $n$ 次元空間の基底とできる）こと
- 具体的には、$\boldsymbol{u}_i$ を列ベクトルと見て横に並べた行列 $P = (\boldsymbol{u}_1, \cdots, \boldsymbol{u}_n)$ を用いて $A$ を対角化できる
【証明】
正則行列 $P$ を用いて、
\[D = P^{-1} A P\]で $A$ を対角化できるとする。
式の両辺に左から $P$ をかけて、
ここで
\[D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda_n \end{pmatrix}\]と置き、$P$ を列ベクトル $n$ 個を並べた
\[P = (\boldsymbol{p}_1, \cdots, \boldsymbol{p}_n)\]の形式で表現すると、
\[\begin{eqnarray} AP &=& A (\boldsymbol{p}_1, \cdots, \boldsymbol{p}_n) \\ &=& (A \boldsymbol{p}_1, \cdots, A \boldsymbol{p}_n) \\ \\ PD &=& (\boldsymbol{p}_1, \cdots, \boldsymbol{p}_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda_n \end{pmatrix} \\ &=& (\lambda_1 \boldsymbol{p}_1, \cdots, \lambda_n \boldsymbol{p}_n) \end{eqnarray}\]これと $PD=AP$ より、$i=1,\cdots,n$ について
\[A\boldsymbol{p}_i = \lambda_i \boldsymbol{p}_i\]これは固有値・固有ベクトルの定義そのもの。
また、$P$ は正則であるから、固有ベクトル $\boldsymbol{p}_1, \cdots, \boldsymbol{p}_n$ は線形独立である。
以上の議論を反対にたどることで、逆も示すことができる。
また、以上の議論により、以下の定理も得る。
【定理】
正方行列 $A$ を対角化して得られる対角行列 $D$ の対角成分 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ は行列 $A$ の固有値である
対角化を使った計算
行列の対角化
理論
前述の通り、$A$ の固有値と固有ベクトルがわかれば、
- $A$ が対角化可能か判別できる
- $A$ が対角化可能であれば、対角化された対角行列 $D$ と、対角化の計算に使う正則行列 $P$ が求まる
具体例
正方行列 $A$ を対角化した行列 $D$ と、その対角化に利用する正則行列 $P$ を求める。
【1】対角化できる場合（固有値に重解なし）
\[A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 \\ −3 & 2 & 5 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]$A$ の固有方程式は
\[\begin{eqnarray} & \det (A-\lambda E) = 0 \\ \\ \Longleftrightarrow \ & \det \begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 & 2 \\ −3 & 2-\lambda & 5 \\ 4 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = 0 \\ \\ \Longleftrightarrow \ & (\lambda-2)(\lambda-5)(\lambda+1) = 0 \end{eqnarray}\]よって $A$ の固有値は $\lambda = -1, 2, 5$
したがって、固有方程式が重根を持たない（固有値がすべて異なる）ので、固有ベクトルは線形独立となり、$A$ は対角化可能。
$A$ を対角化した行列（の1つ）は、固有値を対角成分に並べれば良いから、
\[D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\]次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトル $\boldsymbol{u} = (x, y, z)^T$ を求める。
$\lambda=-1$ のとき、
\[\begin{eqnarray} & A \boldsymbol{u} = - \boldsymbol{u} \\ \Longleftrightarrow \ & \begin{cases} 3x + 2z = -x \\ -3x + 2y + 5z = -y \\ 4x - z = -z \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \ & y = \cfrac{13}{3}x,\ z = -2x \\ \Longleftrightarrow \ & \boldsymbol{u} = k\begin{pmatrix}3\\13\\-6\end{pmatrix} \quad (x = 3k) \end{eqnarray}\]$\lambda=2$ のとき、
\[\begin{eqnarray} & A \boldsymbol{u} = 2 \boldsymbol{u} \\ \Longleftrightarrow \ & \begin{cases} 3x + 2z = 2x \\ -3x + 2y + 5z = 2y \\ 4x - z = 2z \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \ & x = 0,\ z = 0 \\ \Longleftrightarrow \ & \boldsymbol{u} = k\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \quad (y = k) \end{eqnarray}\]$\lambda=5$ のとき、
\[\begin{eqnarray} & A \boldsymbol{u} = 2 \boldsymbol{u} \\ \Longleftrightarrow \ & \begin{cases} 3x + 2z = 5x \\ -3x + 2y + 5z = 5y \\ 4x - z = 5z \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \ & y = \cfrac{2}{3}x,\ z = x \\ \Longleftrightarrow \ & \boldsymbol{u} = k\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix} \quad (x = 3k) \end{eqnarray}\]以上により、$D = P^{-1}AP$ を与える正則行列 $P$（の1つ）は
\[P = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 13 & 1 & 2 \\ -6 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]【2】対角化できる場合（固有値に重解あり）
\[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]$A$ の固有方程式は
\[\begin{eqnarray} & \det (A-\lambda E) = 0 \\ \\ \Longleftrightarrow \ & \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 & 1 \\ 0 & 3-\lambda & -1 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0 \\ \\ \Longleftrightarrow \ & (\lambda-2)^2(\lambda-3) = 0 \end{eqnarray}\]よって $A$ の固有値は $\lambda = 2, 2, 3$
重複度2以上の固有値が存在するため、現時点では対角化できるか分からない。
次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトル $\boldsymbol{u} = (x, y, z)^T$ を求める。
$\lambda=2$ のとき、
\[\begin{eqnarray} & A \boldsymbol{u} = 2 \boldsymbol{u} \\ \Longleftrightarrow \ & \begin{cases} 2x - y + z = 2x \\ 3y - z = 2y \\ 2z = 2z \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \ & y = z \\ \Longleftrightarrow \ & \boldsymbol{u} = k\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + l\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}\]よって、重複度2の固有値 $\lambda = 2$ に対して線形独立な固有ベクトルが2つ存在し、この他に重複度が2以上の固有値は存在しないため、$A$ には独立な $n$ 個の固有ベクトルが存在する。
したがって、$A$ は対角化可能。
$\lambda=3$ のとき、
\[\begin{eqnarray} & A \boldsymbol{u} = 3 \boldsymbol{u} \\ \Longleftrightarrow \ & \begin{cases} 2x - y + z = 3x \\ 3y - z = 3y \\ 2z = 3z \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \ & y = -x,\ z = 0 \\ \Longleftrightarrow \ & \boldsymbol{u} = k\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} \quad (x = k) \end{eqnarray}\]以上により、対角行列 $D = P^{-1}AP$ を与える正則行列 $P$（の1つ）は
\[P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]であり、対角行列 $D$ は
\[D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]【3】対角化できない場合
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\]$A$ の固有方程式は
\[\begin{eqnarray} & \det (A-\lambda E) = 0 \\ \\ \Longleftrightarrow \ & \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 & 2 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ 1 & 2 & -\lambda \end{pmatrix} = 0 \\ \\ \Longleftrightarrow \ & (\lambda+1)^2(\lambda-2) = 0 \end{eqnarray}\]よって $A$ の固有値は $\lambda = -1, -1, 2$
重複度2以上の固有値が存在するため、現時点では対角化できるか分からない。
次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトル $\boldsymbol{u} = (x, y, z)^T$ を求める。
$\lambda=-1$ のとき、
\[\begin{eqnarray} & A \boldsymbol{u} = - \boldsymbol{u} \\ \Longleftrightarrow \ & \begin{cases} x + 3y + 2z = -x \\ -y = -y \\ x + 2y = -z \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \ & y = 0,\ z = x \\ \Longleftrightarrow \ & \boldsymbol{u} = k\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \quad (x = k) \end{eqnarray}\]よって、重複度2の固有値 $\lambda = -1$ に対して線形独立な固有ベクトルが1つしかないので、$A$ には独立な $n$ 個の固有ベクトルが存在しない。
したがって、$A$ は対角化できない。
行列のべき乗の計算
理論
正方行列 $A$ が正則行列 $P$ で対角化可能であり、$P$ で対角化して得られる対角行列を $D$ とする。
\[D = P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda_n \end{pmatrix}\]$A$ について解くと、
\[A = PDP^{-1}\]よって任意の自然数 $k$ に対して
\[\begin{eqnarray} A^k &=& (PDP^{-1})^k \\ &=& PDP^{-1}PDP^{-1} \cdots PDP^{-1} \\ &=& PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)D \cdots (P^{-1}P) D P^{-1} \\ &=& PD^kP^{-1} \\ &=& P \begin{pmatrix} \lambda_1^k & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda_n^k \end{pmatrix} P^{-1} \end{eqnarray}\]具体例
前節と共通の行列
\[A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 \\ −3 & 2 & 5 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]に関して $A^k$ を計算する。
まず、$P^{-1}$ を求める。吐き出し法により、
\[\begin{eqnarray} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 3 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 13 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ -6 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \\ \longrightarrow \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 3 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 11 & 1 & 0 & -\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \\ \longrightarrow \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 3 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ 11 & 1 & 0 & -\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \\ \longrightarrow \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 3 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{17}{9} & 1 & \frac{11}{9} \\ 0 & 0 & 9 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \\ \longrightarrow \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{9} & 0 & -\frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{17}{9} & 1 & \frac{11}{9} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{9} & 0 & \frac{1}{9} \end{array} \right) \end{eqnarray}\]よって
\[P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & 0 & -\frac{1}{9} \\ -\frac{17}{9} & 1 & \frac{11}{9} \\ \frac{2}{9} & 0 & \frac{1}{9} \end{pmatrix} = \cfrac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -17 & 9 & 11 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]したがって、
\[\begin{eqnarray} A^k &=& PDP^{-1} \\ &=& \cfrac{1}{9} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 13 & 1 & 2 \\ -6 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-1)^k & 0 & 0 \\ 0 & 2^k & 0 \\ 0 & 0 & 5^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -17 & 9 & 11 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &=& \cfrac{1}{9} \begin{pmatrix} 3\cdot(-1)^k+6\cdot5^k & 0 & -3\cdot(-1)^k+3\cdot5^k \\ 13\cdot(-1)^k-17\cdot2^k+4\cdot5^k & 9\cdot2^k & -13\cdot(-1)^k+11\cdot2^k+2\cdot5^k \\ -6\cdot(-1)^k+6\cdot5^k & 0 & 6\cdot(-1)^k+3\cdot5^k \end{pmatrix} \end{eqnarray}\]cf. Python プログラムで検算