定義

\[\mathrm{erf}(x) = \cfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt\]

正規分布との関係

正規分布の累積密度関数

\[\Phi(x) = \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} dt\]

は誤差関数を用いて表せる：

\[\Phi(x) = \cfrac{1}{2} \left( 1 + \mathrm{erf} \left( \cfrac{x}{\sqrt{2}} \right) \right)\]

計算方法

$x$ が小さいときはテイラー展開が有効：

\[\mathrm{erf}(x) = \cfrac{2}{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \cfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!}\]

$x$ が大きいときは連分数展開が有効：

\[\mathrm{erf}(x) = 1 - \sqrt{\cfrac{2}{\pi}} \cdot \cfrac{ e^{-x^2} }{ \sqrt{2} x + \cfrac{1}{ \sqrt{2} x + \cfrac{2}{ \sqrt{2} x + \cfrac{3}{ \sqrt{2} x + \cfrac{4}{ \sqrt{2} x + \cdots } } } } }\]