Technical Note - 波動方程式
定義
時刻 $t$、空間座標 $x$ を変数に持つ関数 $u(x,t)$ に関する偏微分方程式
\[\cfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \cfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \qquad (c = \mathrm{const.} \gt 0) \tag{1}\]を 波動方程式 という。
導出
前提
- $x$ 方向に張られた弦の振動を考える
- $y$ 方向の弦の変位 $u(x,t)$ は十分小さい
- 重力の影響は考えない
弦の密度を $\rho$ とすると、微小な長さ $\Delta x$ あたりの弦の質量は $\rho \Delta x$ となる。
この微小質量片の運動方程式を立てる。
（cf. 描画に使った python コード）
弦の張力を $S$ とすれば、図より、質量片にかかる $y$ 方向の力は
\[F_y = S \sin \theta_{+} - S \sin \theta_{-}\]ここで、弦の変位が小さいことから、
\[\begin{eqnarray} \sin \theta_+ &\simeq& \tan \theta_+ &=& \cfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} &\simeq \cfrac{\partial u(x, t)}{\partial x} \\ \sin \theta_- &\simeq& \tan \theta_- &=& \cfrac{u(x)-u(x-\Delta x)}{\Delta x} &\simeq \cfrac{\partial u(x-\Delta x, t)}{\partial x} \end{eqnarray}\]したがって、
\[\begin{eqnarray} F_y &\simeq& S\left( \cfrac{\partial u(x, t)}{\partial x} - \cfrac{\partial u(x-\Delta x, t)}{\partial x} \right) \\ &=& S \cfrac{\partial u(x, t)/\partial x - \partial u(x-\Delta x, t)/\partial x}{\Delta x} \Delta x \\ &\simeq& S \cfrac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} \Delta x \end{eqnarray}\]運動方程式を立てると、
\[\cfrac{\partial^2 u(x, t)}{\partial t^2} \rho \Delta x = S \cfrac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} \Delta x\]したがって
\[\cfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \cfrac{S}{\rho} \cfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]$c := \sqrt{S/\rho}$ とすれば、波動方程式 $(1)$ を得る。
一般解
変数分離法で解く。
\[u(x, t) = f(x)g(t)\]と置いて $(1)$ に代入すると、
\[f(x) \cfrac{d^2 g(t)}{d t^2} = c^2 \cfrac{d^2 f(x)}{d x^2} g(t)\]よって
\[\cfrac{1}{g(t)} \cfrac{d^2 g(t)}{d t^2} = c^2 \cfrac{1}{f(x)} \cfrac{d^2 f(x)}{d x^2}\]左辺は $t$ だけの式、右辺は $x$ だけの式であるから、これが任意の $x, t$ で成り立つ場合、この式の値は定数。
この定数を $k$ と置くと、
それぞれを解く。$A_1, A_2, B_1, B_2$ を積分定数として、
$(i)\ k=0$ のとき
\[\begin{eqnarray} f(x) &=& A_1 x + A_2 \\ g(t) &=& B_1 t + B_2 \end{eqnarray}\]$(ii)\ k \gt 0$ のとき
\[\begin{eqnarray} f(x) &=& A_1 e^{\sqrt{k}x/c} + A_2 e^{-\sqrt{k}x/c} \\ g(t) &=& B_1 e^{\sqrt{k}t} + B_2 e^{-\sqrt{k}t} \end{eqnarray}\]$(iii)\ k \lt 0$ のとき、$k = -\alpha^2$ とおけば
\[\begin{eqnarray} f(x) &=& A_1 \sin \cfrac{\alpha x}{c} + A_2 \cos \cfrac{\alpha x}{c} \\ g(t) &=& B_1 \sin \alpha t + B_2 \cos \alpha t \end{eqnarray}\]$k=0, k\gt 0$ の解は時間とともに発散するため、実際の物理現象を記述するには不適。
したがって微分方程式 $(1)$ の解は
と書ける。
ここで、任意の $\alpha \in \mathbb{R}$ に対して $(1)$ は成り立つ。また実際に計算してみれば明らかなように、異なる $\alpha = \alpha_1, \alpha_2$ に対してそれらの重ね合わせ（和）である $u_{\alpha_1}(x,t)+u_{\alpha_2}(x,t)$ も $(1)$ を満たす。
したがって、$(1)$ の一般解は
定数 $A_{1\alpha}, A_{2\alpha}, B_{1\alpha}, B_{2\alpha}$ は境界条件や初期条件を課すことで定まる。
境界条件と特殊解
境界条件
固定端の境界条件
固定端では媒質の変位がゼロなので、固定端の座標を $x_0$ とすると境界条件は
\[u(x_0, t) = 0\]これはディリクレ条件に相当する。
自由端の境界条件
自由端では、隣接する微小質量片と変位を比べた時に差がない。すなわち、
\[\cfrac{\partial u}{\partial x}(x_0, t) = 0\]これはノイマン条件に相当する。
特殊解の例
固定端
定義域を $0 \le x \le L,\ 0 \le t$ として、
- 境界条件：
- $u(0,t) = 0$
- $u(L, t) = 0$
- 初期条件：
- 初期変位：$u(x, 0) = U_0 \sin \cfrac{2\pi x}{L}$
- 初速度：$\cfrac{\partial u}{\partial t}(x,0) = V_0 \sin \cfrac{2\pi x}{L}$
$(2)$ 式に境界条件・初期条件を適用して、
\[\begin{cases} \sum_\alpha A_{2\alpha} (B_{1\alpha} \sin \alpha t + B_{2\alpha} \cos \alpha t) = 0 \\ \\ \sum_\alpha \left (A_{1\alpha} \sin \cfrac{\alpha L}{c} + A_{2\alpha} \cos \cfrac{\alpha L}{c} \right) \left( B_{1\alpha} \sin \alpha t + B_{2\alpha} \cos \alpha t \right) = 0 \\ \\ \sum_\alpha \left (A_{1\alpha} \sin \cfrac{\alpha x}{c} + A_{2\alpha} \cos \cfrac{\alpha x}{c} \right) B_{2\alpha} = U_0 \sin \cfrac{2\pi x}{L} \\ \\ \sum_\alpha \left (A_{1\alpha} \sin \cfrac{\alpha x}{c} + A_{2\alpha} \cos \cfrac{\alpha x}{c} \right) \alpha B_{1\alpha} = V_0 \sin \cfrac{2\pi x}{L} \end{cases}\]第1式が任意の時刻 $t$ で成り立ち、かつ $B_1=B_2=0$ という無意味な解にならないためには、
\[A_{2\alpha} = 0\]第2式に代入して、
\[\sum_\alpha A_{1\alpha} \sin \cfrac{\alpha L}{c} \left( B_{1\alpha} \sin \alpha t + B_{2\alpha} \cos \alpha t \right) = 0\]これが任意の時刻 $t$ で成り立ち、かつ、$B_1=B_2=0$ や $A_1=A_2=0$ のような無意味な解にならないためには、
\[\begin{eqnarray} &\cfrac{\alpha L}{c} = n\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm2, \cdots) \\ \Longleftrightarrow \quad & \alpha = \cfrac{n\pi c}{L} \end{eqnarray}\]以上を第3〜4式に代入し、式の見やすさのため $A_{1\alpha},B_{1\alpha},B_{2\alpha}\to A_{1n},B_{1n},B_{2n}$ と書きかえれば、
\[\begin{cases} \sum_n A_{1n} B_{2n} \sin \cfrac{n\pi x}{L} = U_0 \sin \cfrac{2\pi x}{L} \\ \\ \sum_n \cfrac{n\pi c}{L} A_{1n} B_{1n} \sin \cfrac{n\pi x}{L} = V_0 \sin \cfrac{2\pi x}{L} \end{cases}\]これらが任意の $x$ について成り立つため、
\[\begin{cases} A_{1n} B_{2n} = U_0, \quad A_{1n} B_{1n} = \cfrac{LV_0}{2\pi c} \qquad &(\mathrm{if}\quad n=2) \\ \\ A_{1n} B_{2n} = 0, \quad A_{1n} B_{1n} = 0 \qquad &(\mathrm{if}\quad n \ne 2) \end{cases}\]以上により、
\[u(x, t) = \sin \cfrac{2\pi x}{L} \left( \cfrac{LV_0}{2\pi c} \sin \cfrac{2\pi c t}{L} + U_0 \cos \cfrac{2\pi c t}{L} \right)\]（cf. 描画に使った python コード）
自由端
定義域を $0 \le x \le L,\ 0 \le t$ として、
- 境界条件：
- $\cfrac{\partial u}{\partial x}(0,t) = 0$
- $\cfrac{\partial u}{\partial x}(L,t) = 0$
- 初期条件：
- 初期変位：$u(x, 0) = U_0 \cos \cfrac{2\pi x}{L}$
- 初速度：$\cfrac{\partial u}{\partial t}(x,0) = V_0 \cos \cfrac{2\pi x}{L}$
$(2)$ 式に境界条件・初期条件を適用して、
\[\begin{cases} \sum_\alpha \cfrac{\alpha}{c} A_{1\alpha} (B_{1\alpha} \sin \alpha t + B_{2\alpha} \cos \alpha t) = 0 \\ \\ \sum_\alpha \cfrac{\alpha}{c} \left (A_{1\alpha} \cos \cfrac{\alpha L}{c} - A_{2\alpha} \sin \cfrac{\alpha L}{c} \right) \left( B_{1\alpha} \sin \alpha t + B_{2\alpha} \cos \alpha t \right) = 0 \\ \\ \sum_\alpha \left (A_{1\alpha} \sin \cfrac{\alpha x}{c} + A_{2\alpha} \cos \cfrac{\alpha x}{c} \right) B_{2\alpha} = U_0 \cos \cfrac{2\pi x}{L} \\ \\ \sum_\alpha \left (A_{1\alpha} \sin \cfrac{\alpha x}{c} + A_{2\alpha} \cos \cfrac{\alpha x}{c} \right) \alpha B_{1\alpha} = V_0 \cos \cfrac{2\pi x}{L} \end{cases}\]第1式が任意の時刻 $t$ で成り立ち、かつ $B_1=B_2=0$ という無意味な解にならないためには、
\[A_{1\alpha} = 0\]第2式に代入して、
\[\sum_\alpha \cfrac{\alpha}{c} A_{2\alpha} \sin \cfrac{\alpha L}{c} \left( B_{1\alpha} \sin \alpha t + B_{2\alpha} \cos \alpha t \right) = 0\]これが任意の時刻 $t$ で成り立ち、かつ、$B_1=B_2=0$ や $A_1=A_2=0$ のような無意味な解にならないためには、
\[\begin{eqnarray} &\cfrac{\alpha L}{c} = n\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm2, \cdots) \\ \Longleftrightarrow \quad & \alpha = \cfrac{n\pi c}{L} \end{eqnarray}\]以上を第3〜4式に代入し、式の見やすさのため $A_{2\alpha},B_{1\alpha},B_{2\alpha}\to A_{2n},B_{1n},B_{2n}$ と書きかえれば、
\[\begin{cases} A_{2n} B_{2n} \cos \cfrac{n\pi x}{L} = U_0 \cos \cfrac{2\pi x}{L} \\ \\ \cfrac{n\pi c}{L} A_{2n} B_{1n} \cos \cfrac{n\pi x}{L} = V_0 \cos \cfrac{2\pi x}{L} \end{cases}\]これらが任意の $x$ について成り立つため、
\[\begin{cases} A_{2n} B_{2n} = U_0, \quad A_{2n} B_{1n} = \cfrac{LV_0}{2\pi c} \qquad &(\mathrm{if}\quad n=2) \\ \\ A_{2n} B_{2n} = 0, \quad A_{2n} B_{1n} = 0 \qquad &(\mathrm{if}\quad n \ne 2) \end{cases}\]以上により、
\[u(x, t) = \cos \cfrac{2\pi x}{L} \left( \cfrac{LV_0}{2\pi c} \sin \cfrac{2\pi c t}{L} + U_0 \cos \cfrac{2\pi c t}{L} \right)\]