Technical Note - ポアソン分布
ポアソン分布とは
単位時間あたりに平均 $\lambda$ 回起こる事象が、ある単位時間に $k$ 回起こる確率 $P(k)$ の分布。
\[P_\lambda(k) = \cfrac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}\]確率密度関数の導出
単位時間を $n$ 等分する。
$n$ を十分に大きく取れば、$n$ 等分された各区間において、事象が2回以上起こる可能性はゼロと考えて良い。
そのため、各分割区間を「事象が起こったか起こらなかったか」の試行と捉えることができる。
$n$ 個の分割区間のうち平均 $\lambda$ 個の区間で事象が発生するから、各区間で事象が発生する確率は $\cfrac{\lambda}{n}$
したがって、$n$ 個の分割区間においてこの事象が $k$ 回起こる確率は、事象発生確率 $\cfrac{\lambda}{n}$ の試行を $n$ 回行って事象が $k$ 回発生する確率であるから、二項分布
\[P(k) = {}_n \mathrm{C}_k \left( \cfrac{\lambda}{n} \right)^k \left( 1-\cfrac{\lambda}{n} \right)^{n-k}\]に従う。分割区間の大きさを無限に小さく（分割数を無限に大きく）すれば、
\[\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P(k) &=& \lim_{n \to \infty} {}_n \mathrm{C}_k \left( \cfrac{\lambda}{n} \right)^k \left( 1-\cfrac{\lambda}{n} \right)^{n-k} \\ &=& \lim_{n \to \infty} \cfrac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{k!} \cfrac{\lambda^k}{n^k} \left( 1-\cfrac{\lambda}{n} \right)^n \left( 1-\cfrac{\lambda}{n} \right)^{-k} \\ &=& \cfrac{\lambda^k}{k!} \lim_{n \to \infty} \cfrac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{n^k} \left( 1-\cfrac{\lambda}{n} \right)^n \left( 1-\cfrac{\lambda}{n} \right)^{-k} \\ &=& \cfrac{\lambda^k}{k!} \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle \prod_{i=0}^{k-1} \left( 1 - \cfrac{i}{n} \right) \right) \left( 1-\cfrac{\lambda}{n} \right)^n \left( 1-\cfrac{\lambda}{n} \right)^{-k} \\ &=& \cfrac{\lambda^k}{k!} \left( \displaystyle \prod_{i=0}^{k-1} \left( 1 - 0 \right) \right) e^{-\lambda} \left( 1-0 \right)^{-k} \\ &=& \cfrac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \end{eqnarray}\]となり、ポアソン分布の確率密度関数を得る。
ポアソン分布の期待値・分散
期待値
\[\begin{eqnarray} E(k) &=& \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} k P_\lambda(k) = \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k P_\lambda(k) \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{\lambda^k}{(k-1)!} e^{-\lambda} \\ &=& \lambda \displaystyle \sum_{k'=0}^{\infty} \cfrac{\lambda^{k'}}{k'!} e^{-\lambda} \\ &=& \lambda \displaystyle \sum_{k'=0}^{\infty} P_\lambda(k') \end{eqnarray}\]途中の変形で、$k - 1 = k’$ による置き換えを行った。 この式の和を取る部分は、ポワソン分布の確率密度関数の総和であるから1になる。 したがって、
\[E(k) = \lambda\]分散
\[\begin{eqnarray} E(k^2) &=& \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} k^2 P_\lambda(k) = \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k^2 P_\lambda(k) \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (k(k-1) + k) P_\lambda(k) \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) P_\lambda(k) + \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k P_\lambda(k) \\ &=& \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) P_\lambda(k) + \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k P_\lambda(k) \\ &=& \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \cfrac{\lambda^k}{(k-2)!} e^{-\lambda} + \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{\lambda^k}{(k-1)!} e^{-\lambda} \\ &=& \lambda^2 \displaystyle \sum_{k'=0}^{\infty} \cfrac{\lambda^{k'}}{k'!} e^{-\lambda} + \lambda \displaystyle \sum_{k''=0}^{\infty} \cfrac{\lambda^{k''}}{k''!} e^{-\lambda} \\ &=& \lambda^2 \displaystyle \sum_{k'=0}^{\infty} P_\lambda(k') + \lambda \displaystyle \sum_{k''=0}^{\infty} P_\lambda(k'') \\ &=& \lambda^2 + \lambda \end{eqnarray}\]したがって、
\[\begin{eqnarray} V(k) &=& E(k^2) - E(k)^2 \\ &=& (\lambda^2 + \lambda) - \lambda^2 \\ &=& \lambda \end{eqnarray}\]モーメント母関数
\[\begin{eqnarray} M_X(t) &=& E(e^{tX}) \\ &=& \displaystyle \sum_{X=0}^{\infty} e^{tX} P_\lambda(X) \\ &=& \displaystyle \sum_{X=0}^{\infty} e^{tX} \cfrac{\lambda^X}{X!} e^{-\lambda} \\ &=& e^{-\lambda} \displaystyle \sum_{X=0}^{\infty} \cfrac{(\lambda e^t)^X}{X!} \end{eqnarray}\]指数関数のマクローリン展開の式
\[e^x = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \cfrac{x^k}{k!}\]より、
\[\begin{eqnarray} M_X(t) &=& e^{-\lambda} e^{\lambda e^t} \\ &=& e^{\lambda (e^t - 1)} \end{eqnarray}\]ポアソン分布の特徴
$\lambda$ が大きいほど、分布は平均値付近に集中する：
（描画に使った Python コード）
import numpy as np
import math
from matplotlib import pyplot as plt
def plot_poisson(k_max, lamb, legend=False):
k = np.array(range(k_max+1))
# 階乗の計算
ln_factorial = [0]
for i in range(1, k_max+1):
ln_factorial.append(ln_factorial[-1] + np.log(i))
ln_factorial = np.array(ln_factorial)
# kのlamb乗の計算
ln_k_pow = k * np.log(lamb)
# 確率密度の計算
poisson = np.exp(ln_k_pow - ln_factorial - lamb)
# グラフ描画
plt.plot(k, poisson, marker='.', label=r'$\lambda = {}$'.format(lamb))
plt.grid()
plt.legend()
for lamb in [1, 2, 3, 5, 10, 20]:
plot_poisson(k_max=30, lamb=lamb)
plt.xlabel('$k$')
plt.ylabel(r'$P_\lambda(k)$')
plt.grid()
plt.show()
plt.figure(figsize=(12, 3))
plt.subplots_adjust(wspace=0.4, hspace=0.6)
cnt_plot = 1
for lamb in [4, 16, 64]:
plt.subplot(1, 3, cnt_plot)
plot_poisson(k_max=lamb*2, lamb=lamb)
cnt_plot += 1
plt.show()
利用例
交通事故が1日平均2回起こる地域で、2日間にちょうど6回の事故が起こる確率
単位時間を2日に設定する。
2日で事故が起こる回数の平均値は4なので、$\lambda=4$ のポアソン分布で $k=6$ である確率を求めれば良い。
求める確率は 10.42%
交通事故が1日平均2回起こる地域で、2日間に6回以上事故が起こる確率
0〜5回事故が起こる確率を求めて余事象の確率を取れば良い。
\[\begin{eqnarray} 1 - \sum_{k=0}^{5} P_{\lambda=4}(k) &=& 1 - e^{-4} \left( \cfrac{4^0}{0!} + \cfrac{4^1}{1!} + \cfrac{4^2}{2!} + \cfrac{4^3}{3!} + \cfrac{4^4}{4!} + \cfrac{4^5}{5!}\right) \\ &=& 1 - 0.7851 = 0.2149 \end{eqnarray}\]求める確率は 21.49%
1%の割合で不良品ができる工場で、10個の製品を抽出したとき不良品が2個以上混ざる確率
10個の製品を抽出する場合の不良品個数の期待値は $0.01 \times 10 = 0.1$ 個なので、$\lambda=0.1$ のポアソン分布で不良品が2個以上（$k \ge 2$）である確率を求めれば良い。
これは $k=0,1$ の余事象であるから、
よって求める確率は 0.47%
→ これは非常に起こりにくい確率なので、「不良品率が1%」という前提が間違っていた可能性が高い（「不良品率1%以下」を帰無仮説とする仮説検定）。