ウェーブレット変換とは

wavelet transform

時系列データに対して、信号の時間と周波数の関係を同時に解析するための手法。

同じく時系列データを解析する手法としてフーリエ変換（cf. fft）があるが、フーリエ変換によるスペクトル解析では、時間方向の情報が失われてしまうため、例えば「時間が後ろになるほど周波数が高くなる」ような状況を解析することが難しい。

ウェーブレット変換ではその欠点を補い、時間とともにデータの周期性が変化していく様子を捉えることができる。

基本的な考え方・変換手順

ウェーブレットの生成

信号の周波数成分を解析するための物差しとして導入する「波の断片」を ウェーブレットと呼ぶ。
基準となるマザーウェーブレット（ウェーブレット基底関数）をメキシカンハット関数

\[\psi(t) = \left(1 - t^2 \right) \exp{ \left( - \cfrac{t^2}{2} \right)}\]

などで定義する（以後の説明では、ウェーブレットとしてメキシカンハット関数を使用）。

これを時間軸方向に拡大・縮小 / 平行移動して色々な形のウェーブレットを生成し、後の変換に用いる：

\[\psi_{\sigma, t_0}(t) = \cfrac{1}{\sqrt{\sigma}} \psi \left( \cfrac{t-t_0}{\sigma} \right) = \cfrac{1}{\sqrt{\sigma}} \left(1 - \cfrac{(t-t_0)^2}{\sigma^2} \right) \exp{ \left( - \cfrac{(t-t_0)^2}{2\sigma^2} \right)}\]

パラメータ	説明
$\sigma$	拡大縮小のパラメータ。波の波長に相当(逆数 $\frac{1}{\sigma}$ は周波数に相当)
$t_0$	平行移動のパラメータ。波の中心位置に相当

ここで、$\sigma$ 倍に引き伸ばされた波のエネルギーのスケールを合わせるため、重み $\frac{1}{\sqrt{\sigma}}$ をかけている。

（展開：作図に使ったコード）

時間・周波数的な特徴の計算

用意した色々なウェーブレット $\psi_{\sigma, t_0}(t)$ と元の時系列データ $f(t)$ とで、同じ時刻の成分どうしの積 $\psi_{\sigma, t_0}(t) f(t)$ を取り、全時間で積分することを考える。

\[I(\sigma, t_0) = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_{\sigma, t_0}(t) f(t) dt\]

ウェーブレット $\psi_{\sigma, t_0}(t)$ は、以下の特徴を持つ波であると考えることができる。

• 特定の時刻 $t_0$ 付近だけに高い振幅を持つ
• 波長（周期）が $\sigma$ に比例する

なので、

• 積 $\psi_{\sigma, t_0}(t) f(t)$ の値は、時刻 $t_0$ 付近以外ではゼロに近い値になる
• その積分値 $I(\sigma, t_0)$ は、時刻 $t_0$ 付近に同じ波長・同じ位相の波が存在すると大きな値になる
  • 位相が同じでも、ウェーブレットと時系列データの波長が異なると、積分値は打ち消しあって小さくなる

時系列データに対して様々なウェーブレットをかけて積分した具体例を下図に示す。

• blue：解析対象の時系列データ $y = \sin(t^2/5) \ \ \ (0 \le t \le 20)$
• orange：ウェーブレット $y = \psi_{\sigma, t_0}(t)$
• green：時系列データとウェーブレットの積関数

（展開：作図に使ったコード）

ウェーブレット変換

もっと細かく $\sigma, t_0$ を区切って積分 $I(\sigma, t_0)$ を計算し、2次元ヒートマップを作成することで、時間とともに波長（周波数）が変化していく様子を捉えることができる。