概要

微分方程式の解を決定するための境界条件の形状の1つ。
境界条件上の点の値を直接与えるもの。

微分方程式の解となる関数を $f(x)$、考える領域の境界点を $x=x_0$ として、

\[\cfrac{df}{dx}(x_0) = \alpha \qquad (\alpha = \mathrm{const.})\]

の形で与えられる。

具体例

微分方程式

\[\cfrac{d^2f(x)}{dx^2} = f(x)\]

ノイマン境界条件

\[\cfrac{df}{dx}(0) = 0\]

与えられた微分方程式の一般解は

\[f(x) = ae^x + be^{-x}\]

であり、積分定数 $a,b$ の分だけ自由度が残る。
両辺を微分して境界条件を代入すると

\[0 = a - b \quad \Longleftrightarrow \quad a = b\]

であるから、微分方程式の解は

\[f(x) = a(e^x - e^{-x})\]

となる。