定義

$n$ 次正方行列 $A$ に対して、零ベクトルでない列ベクトル $\boldsymbol{u}$ と定数 $\lambda$ が存在し、

\[A \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{u}\]

が成立する時、

• $\lambda$：行列 $A$ の 固有値
• $\boldsymbol{u}$：行列 $A$ の固有値 $\lambda$ に属する 固有ベクトル

と呼ぶ。

図形的な意味

$A \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{u}$ の式から、固有ベクトルを行列 $A$ により線形変換しても、定数倍されるだけで向きは変わらない。この「定数倍」の拡大倍率が固有値。

具体例として

\[A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\]

を考えると、$A$ の固有値は $\lambda_1 = 2,\ \lambda_2 = 3$、対応する固有ベクトルは $\boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix},\ \boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$

固有ベクトルやその他のベクトルの $A$ による変換を図に示す。

図より、

• 固有ベクトルを $A$ で変換すると長さが固有値倍されるだけで向きは変わらない
• 固有ベクトル以外を $A$ で変換すると向きが変わる

ことが分かる。

cf. 描画に使った Python コード

性質

固有値の存在保証

【定理】

任意の正方行列 $A$ には固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $\boldsymbol{x}$ が存在する

【証明】

固有方程式

\[\det (A - \lambda I) = 0\]

は $\lambda$ の $n$ 次方程式であるから、$\lambda \in \mathbb{C}$ であるような解を持つ。

（ToDo：続き）

固有ベクトルは一意に定まらない

行列 $A$ の固有値の1つを $\lambda$、それに対応する固有ベクトルを $\boldsymbol{u}$ とする：

\[A \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{u}\]

ここで、$\boldsymbol{u}$ を定数倍したベクトル

\[\boldsymbol{v} := c \boldsymbol{u} \qquad (c = \mathrm{const.} \ne 0)\]

と考えると、

\[A \boldsymbol{v} = A (c \boldsymbol{u}) = c(A \boldsymbol{u}) = c\lambda \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{v}\]

なので、$\boldsymbol{v}$ も $\lambda$ に対する $A$ の固有ベクトルになっている。
したがって、固有ベクトルには定数倍の自由度があり一意に定まらない。

固有ベクトルの線形独立性

【定理】

固有値の異なる固有ベクトルは、 互いに線形独立である

【証明】

（ToDo）

固有値の積と行列式

【定理】

行列式の値は固有値を全て掛けた値に等しい

【証明】

（ToDo）

計算方法

理論

固有値を求める

$I$ を単位行列とすると、

\[\begin{eqnarray} &&A \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{u} \\ & \Longleftrightarrow &\left( A - \lambda I \right) \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \end{eqnarray}\]

これが $\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}$ 以外の解を持つためには、行列 $\left( A - \lambda I \right)$ は逆行列を持ってはならない。 つまり行列式の値がゼロ：

\[\det \left( A - \lambda I \right) = 0\]

この $n$ 次方程式（固有方程式）を解くことで、固有値 $\lambda$ が得られる。

$A$ の相異なる固有値を $\lambda_1, \cdots, \lambda_d$ とすると、固有方程式の左辺は

\[(\lambda - \lambda_1)^{r_1} (\lambda - \lambda_2)^{r_2} \cdots (\lambda - \lambda_d)^{r_d} = 0\]

と因数分解される。このとき、$r_k$ を固有値 $\lambda_k$ の 重複度 という。

【定理】

固有値 $\lambda$ の重複度が $r$ であるとき、$\lambda$ に属する固有ベクトルが持つ自由度のパラメータの個数は $r$ に一致する

固有ベクトルを求める

固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトルを求めるには、固有値・固有ベクトルの定義式

\[(A - \lambda I) \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\]

に $\lambda$ を代入し、$\boldsymbol{u} = \left(u_1, u_2, \cdots, u_n \right)^T$ の各成分の連立方程式として解けば良い。

ただし、固有ベクトルには定数倍の自由度があるため一意には定まらず、定数 $k, l$ などを用いて

\[\boldsymbol{u} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\]

あるいは

\[\boldsymbol{u} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

のような形で求まる。

具体例

例題1：固有値の重複度が全て1

\[A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & 3 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

固有値

固有方程式は、

\[\det \begin{pmatrix} -\lambda & -1 & -3 \\ 2 & 3-\lambda & 3 \\ -2 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} = 0\]

よって

\[\begin{eqnarray} & -\lambda \{(3-\lambda)(1-\lambda) - 3 \cdot 1 \} -1 \{3 \cdot (-2) - 2 (1-\lambda)\} -3 \{ 2 \cdot 1 - (3-\lambda) \cdot (-2) \} = 0 \\ & \lambda^3 - 4 \lambda^2 - 4 \lambda + 16 = 0 \\ & (\lambda - 4)(\lambda - 2)(\lambda + 2) = 0 \end{eqnarray}\]

したがって、$A$ の固有値は

\[\lambda = 4, 2, -2\]

重複度はゼロ。

固有ベクトル

\(\begin{eqnarray} & \begin{pmatrix} -\lambda & -1 & -3 \\ 2 & 3-\lambda & 3 \\ -2 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \Longleftrightarrow & \begin{cases} -\lambda x - y - 3z = 0 \\ 2x + (3-\lambda)y + 3z = 0 \\ -2x + y + (1-\lambda)z = 0 \\ \end{cases} \end{eqnarray}\) に求めた固有値を代入する。

【固有値 4 に属する固有ベクトル】

\(\begin{eqnarray} & \begin{cases} -4x - y - 3z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \\ -2x + y - 3z = 0 \\ \end{cases} \\ \Longleftrightarrow & \begin{cases} y = -x\\ z = -x \end{cases} \end{eqnarray}\) より、$x = k$ とおけば

\[\boldsymbol{u} = k \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\]

【固有値 2 に属する固有ベクトル】

\[\begin{eqnarray} & \begin{cases} -2x - y - 3z = 0 \\ 2x + y + 3z = 0 \\ -2x + y - z = 0 \\ \end{cases} \\ \Longleftrightarrow & \begin{cases} y = x \\ z = -x \end{cases} \end{eqnarray}\]

より、$x = k$ とおけば

\[\boldsymbol{u} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\]

【固有値 -2 に属する固有ベクトル】

\[\begin{eqnarray} & \begin{cases} 2x - y - 3z = 0 \\ 2x + 5y + 3z = 0 \\ -2x + y + 3z = 0 \\ \end{cases} \\ \Longleftrightarrow & \begin{cases} y = -x \\ z = x \end{cases} \end{eqnarray}\]

より、$x = k$ とおけば

\[\boldsymbol{u} = k \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

例題2：固有値の重複度が2以上

\[A = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 3 \\ -2 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]

固有値

固有方程式は、

\[\det \begin{pmatrix} -\lambda & 6 & 3 \\ -2 & 7-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} = 0\]

よって

\[\begin{eqnarray} & -\lambda \{(7-\lambda)(3-\lambda) - 2 \cdot 0 \} +6 \{2 \cdot 0 - (-2) (3-\lambda)\} +3 \{ (-2) \cdot 0 - (7-\lambda) \cdot 0 \} = 0 \\ & - \lambda^3 + 10 \lambda^2 - 33 \lambda + 36 = 0 \\ & (\lambda - 3)^2(\lambda - 4) = 0 \end{eqnarray}\]

したがって、$A$ の固有値は

\(\lambda = 4, 3\) 固有値4は重複度1、固有値3は重複度2。

固有ベクトル

\(\begin{eqnarray} & \begin{pmatrix} -\lambda & 6 & 3 \\ -2 & 7-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \Longleftrightarrow & \begin{cases} -\lambda x + 6y + 3z = 0 \\ -2x + (7-\lambda)y + 2z = 0 \\ (3-\lambda) z = 0 \\ \end{cases} \end{eqnarray}\) に求めた固有値を代入する。

【固有値 4 に属する固有ベクトル】

\[\begin{eqnarray} & \begin{cases} -4x + 6y + 3z = 0 \\ -2x + 3y + 2z = 0 \\ -z = 0 \\ \end{cases} \\ \Longleftrightarrow & \begin{cases} y = \cfrac{2}{3} x \\ z = 0 \end{cases} \end{eqnarray}\]

より、$x = 3k$ とおけば

\[\boldsymbol{u} = k \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\]

【固有値 3 に属する固有ベクトル】

\[\begin{eqnarray} & \begin{cases} -3x + 6y + 3z = 0 \\ -2x + 4y + 2z = 0 \\ 0 = 0 \\ \end{cases} \\ \Longleftrightarrow & x - 2y - z = 0 \end{eqnarray}\]

より、$x = k,\ y = l$ とおけば

\[\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} k \\ l \\ k - 2l \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\]

固有空間

固有空間の定義

【定義】固有空間

行列 $A$ の固有値 $\lambda$（重複度 $r$）に対応する固有ベクトルを $\boldsymbol{u}_1, \cdots, \boldsymbol{u}_r$ とするとき、$\boldsymbol{u}_1, \cdots, \boldsymbol{u}_r$ の線形結合で表せる $\mathbb{C}^r$ 空間を、行列 $A$ の固有値 $\lambda$ に属する固有空間 と言う。

具体例

例として、前述の「計算方法」例題2で扱った3次正方行列を考える。

\[A = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 3 \\ -2 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]

$A$ の固有値・固有ベクトルは

• $\lambda_1 = 4$（重複度1）、対応する固有ベクトル $\boldsymbol{u}_1 = (3,2,0)^T$
• $\lambda_2 = 3$（重複度2）、対応する固有ベクトル $\boldsymbol{u}_2 = (1,0,1)^T,\ \boldsymbol{u}_3 = (0, 1, -2)^T$

それぞれの固有値について、固有空間のベクトル $\boldsymbol{x} = (x, y, z)^T$ が満たす方程式を考える。

【$\lambda_1$ に属する固有空間】

\[\boldsymbol{x} = k \boldsymbol{u}_1 \quad (k=\mathrm{const.})\]

成分で表記すると、

\[\begin{cases} x &=& 3k \\ y &=& 2k \\ z &=& 0 \end{cases}\]

$k$ を消去して、

\[2x - 3y = 0,\quad z = 0\]

したがって、$\lambda_1$ に属する固有空間は直線 $2x - 3y = 0,\ z=0$

【$\lambda_2$ に属する固有空間】

\[\boldsymbol{x} = k \boldsymbol{u}_2 + l \boldsymbol{u}_3 \quad (k, l=\mathrm{const.})\]

成分で表記すると、

\[\begin{cases} x &=& k \\ y &=& l \\ z &=& k-2l \end{cases}\]

$k, l$ を消去して、

\[x -2y -z = 0\]

したがって、$\lambda_2$ に属する固有空間は平面 $x -2y -z = 0$

求めた固有空間を可視化すると下図のようになる。

cf. 描画に使った Python コード