直交行列の定義

転置行列と逆行列が等しくなる実行列 $A$ を 直交行列 と呼ぶ。

\[A^T = A^{-1}\]

言い換えると、$I$ を単位行列として

\[A^T A = A A^T = I\]

が成り立つ。

参考：直交行列の複素空間への拡張：ユニタリー行列

直交行列の性質

直交行列の積

【定理】 $A, B$ がそれぞれ直交行列であるとき、これらの積 $AB$ も直交行列になる。

【証明】

$A, B$ がそれぞれ直交行列なので、$I$ を単位行列として、

\[A^T A = A A^T = I, B^T B = B B^T = I\]

よって

\[\begin{eqnarray} (AB)^T (AB) &=& B^T A^T A B \\ &=& B^T (A^T A) B \\ &=& B^T I B \\ &=& B^T B \\ &=& I \end{eqnarray}\]

$(AB)(AB)^T = I$ も同様に示せるので、

\[(AB)^T(AB) = (AB)(AB)^T = I\]

したがって、$AB$ も転置行列。

直交行列の行列式

【定理】 直交行列 $A$ の行列式は $\det A = \pm 1$

【証明】

\[A^T A = I\]

の両辺の行列式を計算すると、

\[\det (A^T A) = \det I\]

行列式の性質 $\det(AB)=\det A \det B$ と、転置行列の行列式が元の行列の行列式に等しいことから、

\[\det (A^T A) = \det A^T \det A = \det A \det A = (\det A)^2\]

また、これと $\det I = 1$ より、

\[(\det A)^2 = 1\]

したがって

\[\det A = \pm 1\]

直交行列の固有値

【定理】 直交行列 $A$ の固有値 $\lambda = \pm 1$

【証明】

直交行列 $A$ の固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトルを $\boldsymbol{x}_\lambda$ ($\ne 0$) とすると、

\[A \boldsymbol{x}_\lambda = \lambda \boldsymbol{x}_\lambda\]

ここで左辺について自身との内積を取ると、

\[\begin{eqnarray} (A \boldsymbol{x}_\lambda) \cdot (A \boldsymbol{x}_\lambda) &=& (A \boldsymbol{x}_\lambda)^T(A \boldsymbol{x}_\lambda) \\ &=& \boldsymbol{x}_\lambda^T A^T A \boldsymbol{x}_\lambda \\ &=& \boldsymbol{x}_\lambda^T (A^T A) \boldsymbol{x}_\lambda \\ &=& \boldsymbol{x}_\lambda^T I \boldsymbol{x}_\lambda \\ &=& \boldsymbol{x}_\lambda^T \boldsymbol{x}_\lambda \\ &=& || \boldsymbol{x}_\lambda ||^2 \end{eqnarray}\]

右辺についても自身との内積を取ると、

\[\begin{eqnarray} (\lambda \boldsymbol{x}_\lambda) \cdot (\lambda \boldsymbol{x}_\lambda) &=& \lambda^2 (\boldsymbol{x}_\lambda \cdot \boldsymbol{x}_\lambda) \\ &=& \lambda^2 || \boldsymbol{x}_\lambda ||^2 \end{eqnarray}\]

したがって、

\[|| \boldsymbol{x}_\lambda ||^2 = \lambda^2 || \boldsymbol{x}_\lambda ||^2\]

$\boldsymbol{x}_\lambda \ne 0$ より、

\[1 = \lambda^2\]

すなわち、

\[\lambda = \pm 1\]

直交行列と正規直交基底

【定理】

$n$ 次の直交行列 $A$ の列ベクトルを $\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n$ とすると、これらは $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底を成す。
逆に列ベクトル $\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n$ が $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底であるとき、これらを並べた行列 $A$ は直交行列である。

【証明】

略