勾配

定義

スカラー関数 $f(x,y,z)$ の 勾配 $\mathrm{grad}\,f$ は下式で定義される。

\[\mathrm{grad}\,f := \nabla f = \left( \cfrac{\partial f}{\partial x}, \cfrac{\partial f}{\partial y}, \cfrac{\partial f}{\partial z} \right)\]

数学的な意味

【勾配の数学的意味】

関数 $f(x,y,z)$ の勾配 $\nabla f$ は、点 $\boldsymbol{x}=(x,y,z)$ から微小変位 $d\boldsymbol{x}=(dx,dy,dz)$ だけ移動するとき、$f(x,y,z)$ の増加が最も大きい方向を示す。

【解説】

点 $\boldsymbol{x}=(x,y,z)$ からの微小変位 $d\boldsymbol{x}=(dx,dy,dz)$ を考える。

\[f(x+dx,y+dy,z+dz) = f(x,y,z) + \cfrac{\partial f}{\partial x}dx + \cfrac{\partial f}{\partial y}dy + \cfrac{\partial f}{\partial z}dz\]

であるから、この変位による $f(x,y,z)$ の値の変化 $df$ は、

\[\begin{eqnarray} df &=& f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z) \\ &=& \cfrac{\partial f}{\partial x}dx + \cfrac{\partial f}{\partial y}dy + \cfrac{\partial f}{\partial z}dz \end{eqnarray}\]

最後の式は、$f$ の勾配 $\nabla f$ と微小変位 $d\boldsymbol{x}=(dx,dy,dz)$ の内積に等しい：

\[df = \nabla f \cdot d\boldsymbol{x}\]

微小変位 $d\boldsymbol{x}$ の大きさを固定するとき、$f$ の微小増加 $df$ を最大化するには、右辺の内積を最大化すればよい。
すなわち、$d\boldsymbol{x}$ が $\nabla f$ と同じ向きであれば良い。

したがって、スカラー関数 $f(x,y,z)$ の勾配 $\nabla f$ は、微小変位 $d\boldsymbol{x}$ を与えるとき、$f(x,y,z)$ の増加量を最大化する方向を示す。

発散

定義

ベクトル関数 $\boldsymbol{v}(x,y,z)$ の 発散 $\mathrm{div}\,\boldsymbol{v}$ は下式で定義される。

\[\mathrm{div}\,\boldsymbol{v} := \nabla \cdot \boldsymbol{v} = \cfrac{\partial v_x}{\partial x} + \cfrac{\partial v_y}{\partial y} + \cfrac{\partial v_z}{\partial z}\]

数学的な意味

【発散の数学的意味】

ベクトル場 $\boldsymbol{v}(x,y,z)$ の発散 $\nabla \cdot \boldsymbol{v}$ は、各点における流入・流出（湧き出し・吸い込み）の評価を符号付きスカラーで与える。

【解説】

簡単のため、二次元空間で考える：

\[\nabla = \left( \cfrac{\partial}{\partial x}, \cfrac{\partial}{\partial y} \right)\]

下図の通り、点 $\boldsymbol{x}$ から見て $xy$ 方向の上下左右にだけ離れた4点を取る。

（cf. 描画に用いた Python コード）

点 $\boldsymbol{x}$ からこの4点に向かって流出するベクトルの大きさの和 $d$ を計算すると、

\[d = v_x(x+\Delta, y) - v_x(x-\Delta, y) + v_y(x, y+\Delta) - v_y(x, y-\Delta)\]

ここで、正負の符号は「点 $\boldsymbol{x}$ から流出する向き」を正として付けている。

$\Delta$ は微小なので、テイラー展開により

\[\begin{cases} v_x(x+\Delta, y) &\simeq& v_x(x,y) + \cfrac{\partial v_x}{\partial x}(x,y) \Delta \\ v_x(x-\Delta, y) &\simeq& v_x(x,y) - \cfrac{\partial v_x}{\partial x}(x,y) \Delta \\ v_y(x, y+\Delta) &\simeq& v_y(x,y) + \cfrac{\partial v_y}{\partial y}(x,y) \Delta \\ v_y(x, y-\Delta) &\simeq& v_y(x,y) - \cfrac{\partial v_y}{\partial y}(x,y) \Delta \end{cases}\]

であるから、

\[\begin{eqnarray} d &=& \cfrac{\partial v_x}{\partial x}(x,y) \Delta - \left( - \cfrac{\partial v_x}{\partial x}(x,y) \Delta \right) + \cfrac{\partial v_y}{\partial y}(x,y) \Delta - \left( - \cfrac{\partial v_y}{\partial y}(x,y) \Delta \right) \\ &=& 2 \Delta \left( \cfrac{\partial v_x}{\partial x}(x,y) + \cfrac{\partial v_y}{\partial y}(x,y) \right) \end{eqnarray}\]

よって、

\[d \ \propto \ \cfrac{\partial v_x}{\partial x} + \cfrac{\partial v_y}{\partial y} = \nabla \cdot \boldsymbol{v}\]

したがって、発散 $\nabla \cdot \boldsymbol{v}$ はベクトル場 $\boldsymbol{v}$ の各点における流入・流出（湧き出し・吸い込み）の評価を符号付きスカラーで与える。

具体例

図示しやすいように、$xy$ 平面に平行な向きのベクトル場だけを考える。

cf.

• ベクトル場の図示に使った Python コード
• 発散の図示に使った Python コード

発散なし

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& (x, -y) \\ \\ \nabla \cdot \boldsymbol{v} &=& 1 + (-1) = 0 \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& (-y, x) \\ \\ \nabla \cdot \boldsymbol{v} &=& 0 + 0 = 0 \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& (\sin 2\pi y, \sin 2\pi x) \\ \\ \nabla \cdot \boldsymbol{v} &=& 0 + 0 = 0 \end{eqnarray}\]

発散あり

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& (x, y) \\ \\ \nabla \cdot \boldsymbol{v} &=& 1+1 = 2 \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& \left(\cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+0.1}}, \cfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+0.1}}\right) \\ \\ \nabla \cdot \boldsymbol{v} &=& \cfrac{1\cdot \sqrt{x^2+y^2+0.1} - x \cdot x/\sqrt{x^2+y^2+0.1}}{x^2+y^2+0.1} + \cfrac{1\cdot \sqrt{x^2+y^2+0.1} - y \cdot y/\sqrt{x^2+y^2+0.1}}{x^2+y^2+0.1} \\ &=& \cfrac{x^2+y^2+0.2}{(\sqrt{x^2+y^2+0.1})^3} \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& (\sin 2\pi x, \sin 2\pi y) \\ \\ \nabla \cdot \boldsymbol{v} &=& 2\pi (\cos 2\pi x + \cos 2\pi y) \end{eqnarray}\]

回転

定義

ベクトル関数 $\boldsymbol{v}(x,y,z)$ の 回転 $\mathrm{rot}\,\boldsymbol{v}$ （$\mathrm{curl}\,\boldsymbol{v}$ とも書く）は下式で定義される。

\[\mathrm{rot}\,\boldsymbol{v} := \nabla \times \boldsymbol{v} = \left( {\frac {\partial v_{z}}{\partial y}} - {\frac {\partial v_{y}}{\partial z}},\ \ {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}} - {\frac {\partial v_{z}}{\partial x}},\ \ {\frac {\partial v_{y}}{\partial x}} - {\frac {\partial v_{x}}{\partial y}} \right)\]

数学的な意味

【回転の数学的意味】

ベクトル場 $\boldsymbol{v}(x,y,z)$ の回転 $\nabla \times \boldsymbol{v}$ は、各点のまわりの（単位面積あたりの）物理的な回転の度合いを表す。

【解説】

下図のように、点 $\boldsymbol{x} = (x,y,z)$ を中心とし、$xy$ 平面に並行な1辺 $\Delta$ の正方形を考える（$\Delta$ は微小な値とする）。

（cf. 描画に用いた Python コード）

この正方形上でベクトル場 $\boldsymbol{v}(x,y,z)$ を左回りに線積分した値を $R_z$ とすると、$R_z$ は 「点 $\boldsymbol{x}$ のまわりにある、$z$ 軸方向の軸を中心とする流れ1周分を足し合わせた値」 と言える。
よってこれがゼロでない場合、「点 $\boldsymbol{x}$ のまわりには $z$ 軸方向の軸を中心として回転する流れ（渦）がある」 と解釈できる。

簡単のため、正方形の各辺上では $\boldsymbol{v}$ が一定（辺の中心の値）であるとして $R_z$ を計算すると、

\[\begin{eqnarray} R_z &\simeq& v_y\left(x+\frac{\Delta}{2}, y, z\right) \cdot \Delta + v_y\left(x, y+\frac{\Delta}{2}, z\right) \cdot (-\Delta) + v_y\left(x-\frac{\Delta}{2}, y, z\right) \cdot (-\Delta) + v_y\left(x, y-\frac{\Delta}{2}, z\right) \cdot \Delta \\ &=& \left\{ v_y\left(x+\frac{\Delta}{2}, y, z\right) - v_y\left(x, y+\frac{\Delta}{2}, z\right) - v_y\left(x-\frac{\Delta}{2}, y, z\right) + v_y\left(x, y-\frac{\Delta}{2}, z\right) \right\} \cdot \Delta \end{eqnarray}\]

$\Delta$ は微小なので、テイラー展開により

\[\begin{cases} v_x(x, y-\frac{\Delta}{2}, z) &\simeq& v_x(x,y,z) - \cfrac{\partial v_x}{\partial y}(x,y,z) \frac{\Delta}{2} \\ v_x(x, y+\frac{\Delta}{2}, z) &\simeq& v_x(x,y,z) + \cfrac{\partial v_x}{\partial y}(x,y,z) \frac{\Delta}{2} \\ v_y(x+\frac{\Delta}{2}, y, z) &\simeq& v_y(x,y,z) + \cfrac{\partial v_y}{\partial x}(x,y,z) \frac{\Delta}{2} \\ v_y(x-\frac{\Delta}{2}, y, z) &\simeq& v_y(x,y,z) - \cfrac{\partial v_y}{\partial x}(x,y,z) \frac{\Delta}{2} \end{cases}\]

であるから、

\[\begin{eqnarray} R_z &=& \left\{ \left(- \cfrac{\partial v_x}{\partial y}(x,y,z) \cfrac{\Delta}{2} \right) - \cfrac{\partial v_x}{\partial y}(x,y,z) \cfrac{\Delta}{2} + \cfrac{\partial v_y}{\partial x}(x,y,z) \cfrac{\Delta}{2} - \left(- \cfrac{\partial v_y}{\partial x}(x,y,z) \cfrac{\Delta}{2} \right) \right\} \cdot \Delta \\ &=& \left( \cfrac{\partial v_y}{\partial x}(x,y,z) - \cfrac{\partial v_x}{\partial y}(x,y,z) \right) \Delta^2 \end{eqnarray}\]

同様に $x$ 軸・$y$ 軸方向の回転軸周りの流れ $R_x, R_y$ も計算できて、

\[\begin{eqnarray} R_x &=& \Delta^2 \left( \cfrac{\partial v_z}{\partial y}(x,y,z) - \cfrac{\partial v_y}{\partial z}(x,y,z) \right) \\ R_y &=& \Delta^2 \left( \cfrac{\partial v_x}{\partial z}(x,y,z) - \cfrac{\partial v_z}{\partial x}(x,y,z) \right) \end{eqnarray}\]

以上により、$x$ 軸・$y$ 軸・$z$ 軸方向それぞれの回転軸周りの流れを並べてベクトルにすると

\[(R_x, R_y, R_z) \ = \ \left( {\frac {\partial v_{z}}{\partial y}} - {\frac {\partial v_{y}}{\partial z}},\ \ {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}} - {\frac {\partial v_{z}}{\partial x}},\ \ {\frac {\partial v_{y}}{\partial x}} - {\frac {\partial v_{x}}{\partial y}} \right) \Delta^2 = (\nabla \times \boldsymbol{v}) \Delta^2\]

これを正方形の面積 $\Delta^2$ で割れば、$\Delta$ の大きさに依存しない $\nabla \times \boldsymbol{v}$ の表式が得られる。
したがって、回転 $\nabla \times \boldsymbol{v}$ はベクトル場 $\boldsymbol{v}$ の各点 $\boldsymbol{x}$ 周りの回転度合いを表す。

具体例

図示しやすいように、$xy$ 平面に平行な向きのベクトル場だけを考える。

cf.

• ベクトル場の図示に使った Python コード
• 回転の図示に使った Python コード

回転なし

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& (2x, y) \\ \\ (\nabla \times \boldsymbol{v})_z &=& 0 - 0 = 0 \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& (\sin x, \cos y) \\ \\ (\nabla \times \boldsymbol{v})_z &=& 0 - 0 = 0 \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& (y, x) \\ \\ (\nabla \times \boldsymbol{v})_z &=& 1 - 1 = 0 \end{eqnarray}\]

回転あり

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& (-y, x) \\ \\ (\nabla \times \boldsymbol{v})_z &=& 1 - (-1) = 2 \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& (\sin \pi y, \cos \pi x) \\ \\ (\nabla \times \boldsymbol{v})_z &=& -\pi (\sin \pi x + \cos \pi y) \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} (v_x, v_y) &=& (0, x^2) \\ \\ (\nabla \times \boldsymbol{v})_z &=& 2x-0 = 2x \end{eqnarray}\]