独立な確率変数の和が従う分布

独立な確率変数 $P, Q$ がそれぞれ確率分布 $f_P(x), f_Q(x)$ に従うとき、確率変数 $P + Q$ が従う確率密度関数は以下の式で表される。

\[f_{P+Q}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_P (t) f_Q (x-t) dt\]

式の導出

累積確率分布関数の導出

まず $P+Q$ の累積確率分布関数 $F_{P+Q}(x)$ を計算する。
$P, Q$ は独立なので、$P,Q$ の同時確率密度はそれぞれの確率密度関数の積

\[f_P(p) f_Q(q)\]

になる。

$F_{P+Q}(x)$ は $P+Q \le x$ となる確率であるから、$PQ$ 空間の直線

\[P + Q = x = \mathrm{const.}\]

より下側の空間（$P+Q \le x$）で $f_P(p)f_Q(q)$ を積分すれば良い。

よって

\[\begin{eqnarray} F_{P+Q}(x) &=& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{x-q} f_P(p) f_Q(q) dp dq \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} f_Q(q) \left( \int_{-\infty}^{x-q} f_P(p) dp \right) dq \end{eqnarray}\]

$u = p + q$ とおくと、

\[\begin{eqnarray} F_{P+Q}(x) &=& \int_{-\infty}^{\infty} f_Q(q) \left( \int_{-\infty}^x f_P(u - q) du \right) dq \\ &=& \int_{-\infty}^x \left( \int_{-\infty}^{\infty} f_P(u-q) f_Q(q) dq \right) du \end{eqnarray}\]

$P + Q$ の確率密度は累積確率分布の微分で計算できるから、

\[\begin{eqnarray} f_{P+Q}(x) &=& \cfrac{d}{dx} F_{P+Q}(x) \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} f_P(x-q) f_Q(q) dq \end{eqnarray}\]

これは証明したかった式と等価（$t=x-q$ とおけば同じ式を得る）。