等分散性の検定

F 検定

【問題設定】

• 前提
  • 2つの母集団が 正規分布 に従い、互いに独立 している
• 調べたいこと
  • 2つの母集団の母分散に有意差があるか否か？

理論

正規分布 $N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)$ に従う独立した確率変数 $X_1, X_2$ を考える。
これらの母集団からそれぞれ $n_1, n_2$ 件の標本を抽出した時、その標本不偏分散を $s_1^2, s_2^2$ とすると、

\[\chi_i^2 := \cfrac{(n_i-1)s_i^2}{\sigma_i^2} \sim \chi^2(n_i-1) \qquad (i=1,2)\]

cf. 不偏分散とカイ二乗分布の定理

よって

\[F := \cfrac{\chi_1^2/(n_1-1)}{\chi_2^2/(n_2-1)} = \cfrac{s_1^2 / \sigma_1^2}{s_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)\]

cf. F 分布

以上により、$X_1, X_2$ の母集団の分散 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ が等しいという帰無仮説の下では、

\[F = \cfrac{s_1^2}{s_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)\]

が成り立つ。これを用いて F 検定 を行う。

【NOTE】F 分布の下側確率

F 検定では両側検定を行うことが多いため、上側2.5%点・下側2.5%点の両方が必要になる。しかし、一般的な F 分布表では上側確率に対応する点しか書かれていない。

F 分布の性質より、確率変数 $F$ について、

\[F \sim F(n_1, n_2) \Longleftrightarrow \cfrac{1}{F} \sim F(n_2, n_1)\]

であるから、F 分布の下側確率に対応する点を求めるには、自由度の順序を入れ替えた F 分布についての上側確率に対応する点を求め、その逆数を取れば良い。

具体例

ある工場で、同じ部品 A を製造する機械 B が2台ある（B1, B2 とする）。
この2台で製造された部品をサンプリングして重さ $[\mathrm{g}]$ を測定したところ、以下の結果を得た。

• B1 からサンプリングした部品 A（$n_1=11$ 個）の重さの不偏分散 $s_1^2 = 1.03$
• B2 からサンプリングした部品 A（$n_2=8$個）の重さの不偏分散 $s_2^2 = 4.30$

機械 B1, B2 が作る部品の重さがそれぞれ正規分布 $N(\mu_1, \sigma_1), N(\mu_2, \sigma_2)$ に従うと仮定する場合、有意水準 $\alpha=0.05$ として、機械 B1, B2 が作る部品の重さの真の分散 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ は等しいと言えるか？

帰無仮説・対立仮説の設定

• 帰無仮説 $H_0$：機械 B1, B2 が作る部品の重さの分散は等しい（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$）
• 対立仮説 $H_1$：機械 B1, B2 が作る部品の重さの分散は等しくない（$\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$）

検定統計量の選定

部品の重さは正規分布に従うから、その標本不偏分散 $s_1^2, s_2^2$ について

\[F := \cfrac{s_1^2 / \sigma_1^2}{s_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)\]

は $F(n_1-1, n_2-1)$ に従う。$n_1=11, n_2=8$ なので、

\[F \sim F(10, 7)\]

これを検定統計量として用いる。

棄却域の計算

有意水準 $\alpha = 0.05$ の両側検定であるから、検定統計量 $F$ が

• $F(10, 7)$ の下側2.5%点 $F_{0.975}(10,7)$ 以上
• かつ、$F(10, 7)$ の上側2.5%点 $F_{0.025}(10,7)$ 以下

の範囲にあれば、帰無仮説 $H_0$ は妥当と言える。

F 分布表より $F_{0.025}(10,7) = 4.76,\ F_{0.975}(10,7) = 1/F_{0.025}(7,10) = 1/3.95 = 0.253$ と求まるので、帰無仮説 $H_0$ の棄却域は

\[F \le 0.253, 4.76 \le F\]

検定統計量の計算

帰無仮説 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ の元では、検定統計量 $F$ は

\[F = \cfrac{s_1^2}{s_2^2} = \cfrac{1.03}{4.30} \simeq 0.240\]

これは棄却域に含まれるので、帰無仮説 $H_0$ は棄却される。

結論

機械 B1, B2 が作る部品の重さの分散は等しいとは言えない。（機械 B2 の方が有意にばらつきが大きい）