Technical Note - 幾何分布
幾何分布とは
離散確率分布の1種。
成功確率 $p$ の試行を連続で行う時、初めて成功するまでの試行回数 $k$ の分布。
確率密度関数は以下の式で表される。
幾何分布の期待値・分散
準備
$\cfrac{1}{1-x}$ の $n$ 階微分は
\[\cfrac{d^n}{dx^n} \left( \cfrac{1}{1-x} \right) = (-1)^n \times (-1)(-2)\cdots(-n) \cfrac{1}{(1-x)^{n+1}} = \cfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}\]であるから、$\cfrac{1}{1-x}$ をマクローリン展開すると、
\[\cfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} x^k\]両辺の1階微分・2階微分は
\[\begin{eqnarray} \cfrac{1}{(1-x)^2} &=& \sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} & (1) \\ \cfrac{2}{(1-x)^3} &=& \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) x^{k-2} & \qquad (2) \end{eqnarray}\]期待値
\[\begin{eqnarray} E(k) &=& \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{k-1} p \\ &=& p \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{k-1} \end{eqnarray}\]式 $(1)$ に $x = 1-p$ を代入して用いれば、
\[\begin{eqnarray} E(k) &=& p \cfrac{1}{(1-(1-p))^2} \\ &=& \cfrac{1}{p} \end{eqnarray}\]分散
\[\begin{eqnarray} E(k^2) &=& \sum_{k=1}^{\infty} k^2 (1-p)^{k-1} p \\ &=& p \sum_{k=1}^{\infty} (k(k-1)+k) (1-p)^{k-1} \\ &=& p \left( \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) (1-p)^{k-1} + \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{k-1} \right) \\ &=& p \left( (1-p) \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) (1-p)^{k-2} + \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{k-1} \right) \end{eqnarray}\]式 $(1), (2)$ に $x = 1-p$ を代入して用いれば、
\[\begin{eqnarray} E(k^2) &=& p \left( (1-p) \cfrac{2}{(1-(1-p))^3} + \cfrac{1}{(1-(1-p))^2} \right) \\ &=& \cfrac{1-p}{p^2} + \cfrac{1}{p} \end{eqnarray}\]よって、
\[\begin{eqnarray} V(k) &=& E(k^2) - E(k)^2 \\ &=& \cfrac{1-p}{p^2} + \cfrac{1}{p} - \cfrac{1}{p} \\ &=& \cfrac{1-p}{p^2} \end{eqnarray}\]モーメント母関数
\[\begin{eqnarray} M_X(t) &=& E(tX) \\ &=& \sum_{X=1}^{\infty} e^{tX} (1-p)^{X-1} p \\ &=& p e^t \sum_{X=1}^{\infty} \left(e^t (1-p) \right)^{X-1} \\ &=& \cfrac{p e^t}{1 - e^t(1-p)} \end{eqnarray}\]ただし、最後の変形ではモーメント母関数を利用する $t=0$ 近傍、特に
\[e^t (1-p) \lt 1 \Longleftrightarrow t \lt - \log{(1-p)}\]が成り立つ範囲を仮定している。