定理

3次元空間において

• $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$：滑らかなベクトル関数
• $C$：空間内の閉曲線
• $S$：閉曲線 $C$ を境界とする任意の曲面
• $\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})$：曲面 $S$ 上の点 $\boldsymbol{x}$ における法線ベクトル（$\vert \boldsymbol{n} \vert = 1$）

を考える。

このとき、以下の2つは等しい。

• $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$ の回転 $\nabla \times \boldsymbol{v}$ と $S$ の法線ベクトル $\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})$ の内積 $(\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{n}$ を $S$ 全体で面積分した値
• $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$ の $S$ の境界線 $C$ に沿って1周線積分した値

すなわち、

$$\int_S (\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{n} dS = \oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{l} \tag{1}$$

※ $\nabla$ 演算子やベクトル場の回転についてはナブラ演算子を参照

雑な証明

ベクトル場の回転は、その点におけるベクトル場のトルクを表す（cf. ナブラ演算子）。

下図のように、曲面 $S$ を1辺 $\Delta$ の微小な正方形の集合に分割する。

点 $\boldsymbol{x}=(x,y,z)$ を中心とする正方形の4辺に沿った $\boldsymbol{v}$ の線積分 $\Delta s(\boldsymbol{x})$ を考える。
$S$ 内で $\Delta s$ 全ての和を取ると、ほとんどの辺の線積分は、隣接する正方形の辺の線積分と打ち消し合う（上図の赤矢印）。
打ち消されないのは閉曲線 $C$ と接する辺のみ（上図のオレンジ矢印）であるから、残るのは $C$ に沿った線積分：

$$\sum_{\boldsymbol{x} \in S} \Delta s(\boldsymbol{x}) = \oint_C \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{l} \tag{2}$$

次に、実際に $\Delta s(\boldsymbol{x})$ を計算してみる。
厳密な計算は大変なので、簡単のため、曲面 $S$ が $xy$ 平面に平行な場合を考える。
このとき、注目する正方形は

• 重心：$\boldsymbol{x}=(x,y,z)$
• 頂点：$(x+\Delta/2,y,z),(x-\Delta/2,y,z),(x,y+\Delta/2,z),(x,y-\Delta/2,z)$

よって

$$\begin{eqnarray} \Delta s(\boldsymbol{x}) &=& \int_{x-\Delta/2}^{x+\Delta/2} v_x(x,y-\Delta/2,z) dx + \int_{y-\Delta/2}^{y+\Delta/2} v_y(x+\Delta/2,y,z) dy + \\ && \int_{x+\Delta/2}^{x-\Delta/2} v_x(x,y+\Delta/2,z) dx + \int_{y+\Delta/2}^{y-\Delta/2} v_y(x-\Delta/2,y,z) dy \\ &=& v_x(x,y-\Delta/2,z) \int_{x-\Delta/2}^{x+\Delta/2} dx + v_y(x+\Delta/2,y,z) \int_{y-\Delta/2}^{y+\Delta/2} dy + \\ && v_x(x,y+\Delta/2,z) \int_{x+\Delta/2}^{x-\Delta/2} dx + v_y(x-\Delta/2,y,z) \int_{y+\Delta/2}^{y-\Delta/2} dy \\ &=& \left\{ v_x(x,y-\Delta/2,z) + v_y(x+\Delta/2,y,z) - v_x(x,y+\Delta/2,z) - v_y(x-\Delta/2,y,z) \right\} \Delta \end{eqnarray}$$

途中、正方形が十分小さいことから $v_x,v_y$ は一定と見なして積分の外に出した。

テイラー展開により

$$\begin{cases} v_x(x,y-\Delta/2,z) &\simeq& v_x(x,y,z) - \cfrac{\partial v_x}{\partial y} \cfrac{\Delta}{2} \\ v_y(x,y+\Delta/2,z) &\simeq& v_y(x,y,z) + \cfrac{\partial v_y}{\partial x} \cfrac{\Delta}{2} \\ v_x(x,y+\Delta/2,z) &\simeq& v_x(x,y,z) + \cfrac{\partial v_x}{\partial y} \cfrac{\Delta}{2} \\ v_y(x,y-\Delta/2,z) &\simeq& v_y(x,y,z) - \cfrac{\partial v_y}{\partial x} \cfrac{\Delta}{2} \end{cases}$$

なので、

$$\begin{eqnarray} \Delta s(\boldsymbol{x}) &=& \left\{ - \cfrac{\partial v_x}{\partial y} \cfrac{\Delta}{2} + \cfrac{\partial v_y}{\partial x} \cfrac{\Delta}{2} - \cfrac{\partial v_x}{\partial y} \cfrac{\Delta}{2} - \left( - \cfrac{\partial v_y}{\partial x} \cfrac{\Delta}{2} \right) \right\} \Delta \\ &=& \left( \cfrac{\partial v_y}{\partial x} - \cfrac{\partial v_x}{\partial y} \right) \Delta^2 \\ &=& (\nabla \times \boldsymbol{v})_z \Delta^2 \end{eqnarray}$$

曲面 $S$ 全体で和を取れば、

$$\sum_{\boldsymbol{x} \in S} \Delta s(\boldsymbol{x}) = \sum_{\boldsymbol{x} \in S} (\nabla \times \boldsymbol{v})_z \Delta^2 \simeq \int_S (\nabla \times \boldsymbol{v})_z dS$$

最後の変形では、正方形の面積 $\Delta^2 \to dS$ として和を積分に書き換えた。

ここでは $xy$ 平面に並行な曲面 $S$ を想定しているので、$S$ 上の任意の点で $\boldsymbol{n} = (0,0,1)$。 したがって、

$$\sum_{\boldsymbol{x} \in S} \Delta s(\boldsymbol{x}) \simeq \int_S (\nabla \times \boldsymbol{v})_z dS = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{n} dS \tag{3}$$

$(2)(3)$ より、

$$\int_S (\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{n} dS = \oint_C \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{l}$$