Technical Note - フーリエ変換
フーリエ級数展開
フーリエ級数とは
実関数 $f(x)$ を周期 $T$ の周期関数とする：
\[f(x+T) = f(x) \tag{1.1}\]このとき、$f(x)$ は以下ように三角関数の無限級数に展開できる：
\[f(x) = \cfrac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \cfrac{2n\pi x}{T} + b_n \sin \cfrac{2n\pi x}{T} \right) \tag{1.2}\]これを $f(x)$ の フーリエ級数 という。
これは、周期関数 $f(x)$ が、（定数 $a_0/2$ を除いて）波長 $T, \cfrac{T}{2}, \cfrac{T}{3}, \cfrac{T}{4}, \cdots$ の正弦波（sin, cos）の重ね合わせで表されることを意味する。
係数 $a_n, b_n$ は
\[\begin{eqnarray} a_n &=& \cfrac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos \cfrac{2n\pi x}{T} dx \tag{1.3} \\ b_n &=& \cfrac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin \cfrac{2n\pi x}{T} dx \tag{1.4} \end{eqnarray}\]この式は $a_0$ についても成り立つ。
係数の導出
フーリエ級数展開の係数 $a_n, b_n$ を導出する。
$(1.2)$ の両辺に $\cos \cfrac{2k\pi x}{T}\ (k = 1,2,3,\cdots)$ をかけて $0\le x \le T$ の区間で積分すると、
\[\int_0^T f(x) \cos \cfrac{2k\pi x}{T} dx = \cfrac{a_0}{2} \int_0^T \cos \cfrac{2k\pi x}{T} dx + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \int_0^T \cos \cfrac{2k\pi x}{T} \cos \cfrac{2n\pi x}{T} dx + b_n \int_0^T \cos \cfrac{2k\pi x}{T} \sin \cfrac{2n\pi x}{T} dx \right)\]ここで右辺について、第一項は $\cos$ を1周期分の区間で積分しているのでゼロ。無限級数部分は、三角関数の積に関する積分公式
\[\begin{eqnarray} \int_0^T \cos \cfrac{2k\pi x}{T} \cos \cfrac{2n\pi x}{T} dx &=& \int_0^T \sin \cfrac{2k\pi x}{T} \sin \cfrac{2n\pi x}{T} dx = \begin{cases} \cfrac{T}{2} \qquad &(k = n) \\ 0 \qquad &(k \ne n) \end{cases} \\ \int_0^T \cos \cfrac{2k\pi x}{T} \sin \cfrac{2n\pi x}{T} dx &=& 0 \end{eqnarray}\]を適用すれば、$\cos$ どうしの積の $n=k$ の項のみが残るので、
\[\int_0^T f(x) \cos \cfrac{2k\pi x}{T} dx = \cfrac{a_k T}{2}\]したがって
\[a_k = \cfrac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos \cfrac{2k\pi x}{T} dx \tag{1.3}\]次に $(1.2)$ の両辺に $\sin \cfrac{2k\pi x}{T}\ (k = 1,2,3,\cdots)$ をかけて $0\le x \le T$ の区間で積分すると、同様に計算して
\[b_k = \cfrac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin \cfrac{2k\pi x}{T} dx \tag{1.4}\]最後に $(2)$ の両辺を $0\le x \le T$ の区間で積分すると、
\[\int_0^T f(x) dx = \cfrac{a_0 T}{2}\]となるので、
\[a_0 = \cfrac{2}{T} \int_0^T f(x) dx\]この式は $(1.3)$ に $k=0$ を代入したものと一致するので、$(1.3)$ は $k=0$ の場合にも拡張できる。
振幅・位相・パワースペクトル
フーリエ級数 $(1.2)$ において、波長 $T/n$ の正弦波について三角関数の合成を行うと、
\[a_n \cos \cfrac{2n\pi x}{T} + b_n \sin \cfrac{2n\pi x}{T} = A_n \sin \left( \cfrac{2n\pi x}{T} + \theta_n \right)\]ここで $A_n, \theta_n$ は以下を満たす。
\[\begin{eqnarray} A_n &=& \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \tag{1.5} \\ \cos \theta_n &=& \cfrac{a_n}{\sqrt{a_n^2 + b_n^2}},\ \sin \theta_n = \cfrac{b_n}{\sqrt{a_n^2 + b_n^2}} \tag{1.6} \end{eqnarray}\]よって $(1.2)$ は
\[f(x) = \cfrac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty A_n \sin \left( \cfrac{2n\pi x}{T} + \theta_n \right)\]とも書ける。この式から明らかなように、$A_n, \theta_n$ は $f(x)$ を構成する正弦波のうち、波長 $T/n$ のものの 振幅、位相 を表す。
自然数 $n$ に対応して波長が異なる正弦波について振幅と位相を並べた 振幅スペクトル、位相スペクトル を作成すれば、波長ごとの成分の強度や位相のズレを比較できる。
また、波のエネルギーは振幅の二乗 $A_n^2 = a_n^2 + b_n^2$ に比例するので、これを パワースペクトル と呼んで分析に用いることもある。
Appendix: Gibbs 現象
現実問題として、正弦波を無限回足して $f(x)$ を計算することはできないので、実用上は第 $M\ (\gg 1)$ 項までのフーリエ級数の和で近似することになる：
\[f(x) \sim \cfrac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^M \left( a_n \cos \cfrac{2n\pi x}{T} + b_n \sin \cfrac{2n\pi x}{T} \right)\]$f(x)$ が不連続関数である場合、いくら $M$ を大きくしても、不連続点において高周波の正弦波の部分和が大きく振動する。その結果、実際の関数の値よりも大きな/小さな値を取ってしまう Gibbs 現象 が観測される。
以下に、例を示す。$k$ を任意の整数として、不連続関数
\[f(x) = \begin{cases} 1\qquad &(2k \lt x \le 2k+1) \\ -1\qquad &(2k-1 \lt x \le 2k) \end{cases}\]をフーリエ級数展開して途中までの部分和のグラフを描くと以下のようになる。
高周波の成分まで和をとっても、不連続点において最大値 $1$, 最小値 $-1$ を超えてしまうことが分かる。
計算例
【例1】$k$ を任意の整数として、
\[f(x) = \begin{cases} 1\qquad &(2k \lt x \le 2k+1) \\ -1\qquad &(2k-1 \lt x \le 2k) \end{cases}\]
周期 $T=2$ の周期関数であるから、$n\ne 0$ について
\[\begin{eqnarray} a_n &=& \int_0^2 f(x) \cos n\pi x \ dx \\ &=& \int_0^1 1 \cdot \cos n\pi x \ dx + \int_1^2 (-1) \cdot \cos n\pi x \ dx \\ &=& \cfrac{1}{n\pi} \left[ \sin n\pi x \right]_0^1 - \cfrac{1}{n\pi} \left[ \sin n\pi x \right]_1^2 \\ &=& \cfrac{1}{n\pi} (0-0) - \cfrac{1}{n\pi} (0-0) = 0 \\ b_n &=& \int_0^2 f(x) \sin n\pi x \ dx \\ &=& \int_0^1 1 \cdot \sin n\pi x \ dx + \int_1^2 (-1) \cdot \sin n\pi x \ dx \\ &=& -\cfrac{1}{n\pi} \left[ \cos n\pi x \right]_0^1 + \cfrac{1}{n\pi} \left[ \cos n\pi x \right]_1^2 \\ &=& - \cfrac{1}{n\pi} (\cos n\pi-1) + \cfrac{1}{n\pi} (1-\cos n\pi) \\ &=& \cfrac{2}{n\pi} (1 - \cos n\pi) = \cfrac{2}{n\pi} \left(1 - (-1)^n\right) = \cfrac{2}{n\pi} \left(1 + (-1)^{n+1}\right) \end{eqnarray}\]$n=0$ については
\[a_0 = \int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 1dx + \int_1^2(-1)dx = 1 + (-1) = 0\]以上により
\[\begin{eqnarray} f(x) &=& \sum_{n=1}^\infty \cfrac{2}{n\pi} \left(1 + (-1)^{n+1}\right) \sin n\pi x \\ &=& \cfrac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \cfrac{1}{2k-1} \sin (2k-1)\pi x \\ &=& \cfrac{4}{\pi} \left( \sin \pi x + \cfrac{1}{3} \sin 3\pi x + \cfrac{1}{5} \sin 5\pi x + \cdots \right) \end{eqnarray}\]無限級数の和を途中まで取ると、だんだん正しい形に近づいていくことが分かる：
cf. 描画に使ったプログラム
【例2】$m$ を任意の整数として、
\[f(x) = \begin{cases} -x+2m\pi \qquad & \left( (2m-1)\pi \lt x \le 2m\pi \right) \\ x-2m\pi \qquad & \left( 2m\pi \lt x \le (2m+1)\pi \right) \end{cases}\]
周期 $T=2\pi$ の周期関数であるから、$n\ne 0$ について
\[\begin{eqnarray} a_n &=& \cfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx \ dx \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^0 (-x) \cos nx \ dx + \int_0^\pi x \cos nx \ dx \right) \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \left( \int_{\pi}^0 u \cos (-nu) \ (-du) + \int_0^\pi x \cos nx \ dx \right) \quad (u:=-x) \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \left( \int_0^{\pi} u \cos nu \ du + \int_0^\pi x \cos nx \ dx \right) \\ &=& \cfrac{2}{\pi} \int_0^\pi x \cos nx \ dx \\ &=& \cfrac{2}{\pi} \left[ \cfrac{x}{n} \sin nx + \cfrac{1}{n^2} \cos nx \right]_0^\pi \\ &=& \cfrac{2}{\pi} \left\{ \left( \cfrac{\pi}{n} \sin n\pi + \cfrac{1}{n^2} \cos n\pi \right) - \left( 0 \sin 0 + \cfrac{1}{n^2} \cos 0 \right) \right\} \\ &=& \cfrac{2}{n^2\pi} \{ (-1)^n-1 \} \\ \\ b_n &=& \cfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \ dx \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^0 (-x) \sin nx \ dx + \int_0^\pi x \sin nx \ dx \right) \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \left( \int_{\pi}^0 u \sin (-nu) \ (-du) + \int_0^\pi x \sin nx \ dx \right) \quad (u:=-x) \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \left( - \int_0^{\pi} u \sin nu \ du + \int_0^\pi x \sin nx \ dx \right) \\ &=& 0 \end{eqnarray}\]途中、以下の部分積分の結果を用いた。
\[\begin{eqnarray} \int x\cos nx \ dx &=& \cfrac{x}{n} \sin nx - \cfrac{1}{n} \int \sin nx\ dx \\ &=& \cfrac{x}{n} \sin nx + \cfrac{1}{n^2} \cos nx + C \end{eqnarray}\]$n=0$ については
\[\begin{eqnarray} a_0 &=& \cfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^0 (-x)\ dx + \int_0^\pi x\ dx \right) \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \left( - \left[ \cfrac{x^2}{2} \right]_{-\pi}^0 + \left[ \cfrac{x^2}{2} \right]_0^\pi \right) \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \left( \cfrac{\pi^2}{2} + \cfrac{\pi^2}{2} \right) \\ &=& \pi \end{eqnarray}\]以上により
\[\begin{eqnarray} f(x) &=& \cfrac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^\infty \cfrac{2}{n^2\pi} \{ (-1)^n-1 \} \cos nx \\ &=& \cfrac{\pi}{2} - \cfrac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \cfrac{1}{(2k-1)^2} \cos(2k-1)x \\ &=& \cfrac{\pi}{2} - \cfrac{4}{\pi} \left( \cos x + \cfrac{1}{9} \cos 3x + \cfrac{1}{25} \cos 5x + \cdots \right) \end{eqnarray}\]無限級数の和を途中まで取ると、だんだん正しい形に近づいていくことが分かる：
cf. 描画に使ったプログラム
フーリエ変換
フーリエ変換とは
フーリエ級数展開を周期関数ではなく任意の関数に拡張したもの。
関数 $f(x)$ が絶対積分可能、すなわち
\[\int_{-\infty}^\infty \vert f(x) \vert dx \lt \infty\]であるとき、
\[F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}\ dx \tag{2.1}\]を $f(x)$ の フーリエ変換 という。また、
\[f(x) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega x}\ d\omega \tag{2.2}\]により $F(\omega)$ から $f(x)$ を求めることもでき、これを 逆フーリエ変換 という。
フーリエ変換 $(2.1)$ は、フーリエ級数展開 $(1.2)$ の周期を無限大に拡張、かつ正弦波の波長（周波数）を連続値に拡張したものになっている。
つまり、任意の絶対積分可能な関数 $f(x)$ が、あらゆる周波数 $\omega$ の正弦波（sin, cos）の重ね合わせで表されることを意味する。
式の導出
任意の関数 $f(x)$ は、周期 $T=\infty$ の周期関数と解釈できる。
$f(x),\ \cos \cfrac{2n\pi x}{T},\ \sin \cfrac{2n\pi x}{T}$ がそれぞれ周期 $T$ の周期関数であるとき、積分区間 $\int_0^T$ を $\int_{-T/2}^{T/2}$ としても（1周期分の区間の積分なので）値は変わらず、$T=2L$ とおけば、$(1.2),(1.3),(1.4)$ は以下のように書き換えられる：
\[\begin{eqnarray} f(x) &=& \cfrac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \cfrac{n\pi x}{L} + b_n \sin \cfrac{n\pi x}{L} \right) \tag{1.2'} \\ a_n &=& \cfrac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos \cfrac{n\pi x}{L} dx \tag{1.3'} \\ b_n &=& \cfrac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin \cfrac{n\pi x}{L} dx \tag{1.4'} \end{eqnarray}\]ここで
\[\omega_n := n\pi/L,\quad \Delta \omega := \omega_{n+1}-\omega_n = \pi/L\]とおけば、$1/L = \Delta\omega/\pi$ なので、
\[f(x) = \cfrac{\Delta\omega}{2\pi} \int_{-L}^L f(u) du + \cfrac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \left( \cos \omega_n x \int_{-L}^L f(u) \cos \omega_n u du + \sin \omega_n x \int_{-L}^L f(u) \sin \omega_n u du \right) \Delta\omega\]$f(x)$ を周期関数とみなすため $L \to \infty$ の極限を取ると $\Delta\omega \to 0$ であり、$\omega_n$ は等間隔であることから連続変数 $\omega$ とみなせるので、和を積分に置き換えられる：
\[f(x) = \lim_{\Delta\omega\to 0} \cfrac{\Delta\omega}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(u) du + \cfrac{1}{\pi} \int_0^\infty \left( \cos \omega x \int_{-\infty}^\infty f(u) \cos \omega u\ du + \sin \omega x \int_{-\infty}^\infty f(u) \sin \omega u\ du \right) d\omega\]$f(x)$ が絶対積分可能なので、右辺第一項の積分部分は発散しない。よって右辺第一項はゼロに収束するから、
\[\begin{eqnarray} f(x) &=& \cfrac{1}{\pi} \int_0^\infty f(u) \left( \cos \omega x \int_{-\infty}^\infty f(u) \cos \omega u\ du + \sin \omega x \int_{-\infty}^\infty f(u) \sin \omega u\ du \right) d\omega \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \int_0^\infty d\omega \int_{-\infty}^\infty du\ f(u) \left( \cos\omega x \cos\omega u + \sin\omega x \sin\omega u \right) \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \int_0^\infty d\omega \int_{-\infty}^\infty du\ f(u) \cos \omega(x-u) \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \int_0^\infty d\omega \int_{-\infty}^\infty du\ f(u) \cfrac{e^{i\omega(x-u)}-e^{-i\omega(x-u)}}{2} \end{eqnarray}\]ここで $e^{-i\omega(x-u)}$ の $\omega$ 積分に関して、$\omega’ = -\omega$ と置換すれば
\[\int_0^\infty e^{-i\omega(x-u)} d\omega = \int_0^{-\infty} e^{i\omega'(x-u)} d(-\omega') = \int_{-\infty}^0 e^{i\omega'(x-u)} d\omega'\]よって
\[\begin{eqnarray} f(x) &=& \cfrac{1}{\pi} \int_0^\infty d\omega \int_{-\infty}^\infty du\ f(u) \cfrac{e^{i\omega(x-u)}-e^{-i\omega(x-u)}}{2} \\ &=& \cfrac{1}{\pi} \left( \int_0^\infty d\omega + \int_{-\infty}^0 d\omega \right) \int_{-\infty}^\infty du\ f(u) \cfrac{e^{i\omega(x-u)}}{2} \\ &=& \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(u) e^{i\omega(x-u)}\ du d\omega \\ &=& \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u) e^{-i\omega u}\ du \right) e^{i\omega x} d\omega \end{eqnarray}\]最後の式のカッコの中身は $\omega$ にのみ依存する関数であり、これを
\[F(\omega) := \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}\ dx \tag{2.1}\]と置けば（※ ここでは積分変数を $u \to x$ と書き換えている）
\[f(x) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega x}\ d\omega \tag{2.2}\]となり、フーリエ変換 $(2.1)$、逆フーリエ変換 $(2.2)$ を得る。
振幅・位相・パワースペクトル
オイラーの公式より
\[e^{i\omega x} = \cos \omega x + i \sin \omega x\]であるから、逆フーリエ変換の式 $(2.2)$ の被積分関数 $F(\omega) e^{i\omega x}$ は、元の関数 $f(x)$ を構成する正弦波のうち、周波数 $\omega$ に対応する成分を表す。
\[\vert e^{i\omega x} \vert = \cos^2 \omega x + \sin^2 \omega x = 1 \\\]なので、係数 $F(\omega)$（= 元の関数のフーリエ変換）は正弦波の振幅に相当する。
$F(\omega)$ の値は一般に複素数：
\[F(\omega) = \mathrm{Re}\ F(\omega) + i\ \mathrm{Im}\ F(\omega)\]振幅スペクトル $A(\omega)$ はこの絶対値を取れば得られる：
\[A(\omega) = \vert F(\omega) \vert = \sqrt{ (\mathrm{Re}\ F(\omega))^2 + (\mathrm{Im}\ F(\omega))^2 } \tag{2.3}\]フーリエ級数展開のときと同様に、振幅を二乗すれば パワースペクトル を得る：
\[\vert F(\omega) \vert^2 = A(\omega)^2 = (\mathrm{Re}\ F(\omega))^2 + (\mathrm{Im}\ F(\omega))^2 \tag{2.4}\]また、正弦波の 位相スペクトル は複素数 $F(\omega)$ の位相 $\theta(\omega)$ に一致し、
\[F(\omega) = \vert F(\omega) \vert e^{i\theta(\omega)}\]すなわち
\[\begin{cases} \mathrm{Re}\ F(\omega) &=& \vert F(\omega) \vert \cos\theta(\omega) \\ \mathrm{Im}\ F(\omega) &=& \vert F(\omega) \vert \sin\theta(\omega) \end{cases} \tag{2.5}\]が成り立つ。
計算例
\[\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}\ dx \\ &=& \int_0^1 1 \cdot e^{-i\omega x}\ dx + \int_1^2 (-1) \cdot e^{-i\omega x}\ dx \\ &=& \int_0^1 ( \cos \omega x - i \sin \omega x )\ dx - \int_1^2 ( \cos \omega x - i \sin \omega x )\ dx \\ &=& \left[\cfrac{1}{\omega} \sin \omega x + i \cfrac{1}{\omega} \cos \omega x \right]_0^1 - \left[ \cfrac{1}{\omega} \sin \omega x + i \cfrac{1}{\omega} \cos \omega x \right]_1^2 \\ &=& \cfrac{1}{\omega}(\sin \omega + i \cos \omega) - \cfrac{1}{\omega}(0 + i) - \cfrac{1}{\omega}(\sin 2\omega + i \cos 2\omega) + \cfrac{1}{\omega}(\sin \omega + i \cos \omega) \\ &=& \cfrac{1}{\omega}(2\sin \omega - \sin 2\omega) + i \cfrac{1}{\omega}(2\cos \omega - \cos 2\omega -1) \end{eqnarray}\]【例1】
\[f(x) = \begin{cases} 1\qquad &(0 \lt x \le 1) \\ -1\qquad &(1 \lt x \le 2) \end{cases}\]
パワースペクトルは
\[\begin{eqnarray} \vert F(\omega) \vert^2 &=& \cfrac{1}{\omega^2} \left\{ (2\sin \omega - \sin 2\omega)^2 + (2\cos \omega - \cos 2\omega -1)^2 \right\} \\ &=& \cfrac{1}{\omega^2} \left\{ (2\sin \omega - 2\sin \omega \cos \omega)^2 + (2\cos \omega - (2\cos^2\omega-1) -1)^2 \right\} \\ &=& \cfrac{4}{\omega^2} \left\{ \sin^2 \omega (1 - \cos \omega)^2 + \cos^2 \omega (1 - \cos \omega)^2 \right\} \\ &=& \cfrac{4}{\omega^2} (\sin^2 \omega + \cos^2 \omega) (1 - \cos \omega)^2 \\ &=& \cfrac{4}{\omega^2} (1 - \cos \omega)^2 \end{eqnarray}\]位相 $\theta(\omega)$ は
\[\begin{eqnarray} \cos\theta(\omega) &=& \cfrac{\mathrm{Re}\ F(\omega)}{\vert F(\omega) \vert} = \cfrac{2\sin \omega - \sin 2\omega}{2(1-\cos\omega)} \\ \sin\theta(\omega) &=& \cfrac{\mathrm{Im}\ F(\omega)}{\vert F(\omega) \vert} = \cfrac{2\cos \omega - \cos 2\omega -1}{2(1-\cos\omega)} \end{eqnarray}\]cf. 描画に使ったプログラム
\[\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}\ dx \\ &=& \int_{-1}^0 1 \cdot e^{-i\omega x}\ dx + \int_0^1 (-1) \cdot e^{-i\omega x}\ dx \\ &=& \int_{-1}^0 ( \cos \omega x - i \sin \omega x )\ dx - \int_0^1 ( \cos \omega x - i \sin \omega x )\ dx \\ &=& \left[\cfrac{1}{\omega} \sin \omega x + i \cfrac{1}{\omega} \cos \omega x \right]_{-1}^0 - \left[ \cfrac{1}{\omega} \sin \omega x + i \cfrac{1}{\omega} \cos \omega x \right]_0^1 \\ &=& \cfrac{1}{\omega}(0 + i) - \cfrac{1}{\omega}(-\sin \omega + i \cos \omega) - \cfrac{1}{\omega}(\sin \omega + i \cos \omega) + \cfrac{1}{\omega}(0 + i) \\ &=& i \cfrac{2}{\omega}(1 - \cos \omega) \end{eqnarray}\]【例1.1】（例1を平行移動したもの）
\[f(x) = \begin{cases} 1\qquad &(-1 \lt x \le 0) \\ -1\qquad &(0 \lt x \le 1) \end{cases}\]
パワースペクトルは以下のようになり、例1の値と一致する。
\[\vert F(\omega) \vert^2 = \cfrac{4}{\omega^2} (1 - \cos \omega)^2\]位相 $\theta(\omega)$ は
\[\begin{eqnarray} \cos\theta(\omega) &=& \cfrac{\mathrm{Re}\ F(\omega)}{\vert F(\omega) \vert} = 0 \\ \sin\theta(\omega) &=& \cfrac{\mathrm{Im}\ F(\omega)}{\vert F(\omega) \vert} = 1 \end{eqnarray}\]より $\theta(\omega) = \pi/2$ となり、例1とは位相だけが異なることが分かる。
$\sin \theta(\omega)$ の計算では、$\mathrm{Im}\ F(\omega) = \cfrac{2}{\omega} (1-\cos\omega) \ge 0$ を用いた。
cf. 描画に使ったプログラム
\[\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}\ dx \\ &=& \int_{-\pi}^{-\pi/2} (-x-\pi) e^{-i\omega x}\ dx + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x e^{-i\omega x}\ dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-x+\pi) e^{-i\omega x}\ dx \end{eqnarray}\]【例2】
\[f(x) = \begin{cases} -x-\pi \qquad & \left( -\pi \le x \le -\cfrac{\pi}{2} \right) \\ x \qquad & \left( -\cfrac{\pi}{2} \lt x \le \cfrac{\pi}{2} \right) \\ -x+\pi \qquad & \left( \cfrac{\pi}{2} \lt x \le \pi \right) \end{cases}\]
ここで
\[\begin{eqnarray} \int e^{-i\omega x}\ dx &=& -\cfrac{1}{i\omega}e^{-i\omega x} + C \\ &=& \cfrac{i}{\omega}e^{-i\omega x} + C \\ \int x e^{-i\omega x}\ dx &=& \int x \cdot \cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{i}{\omega}e^{-i\omega x} \right) dx \\ &=& x \cdot \cfrac{i}{\omega}e^{-i\omega x} - \int \cfrac{dx}{dx} \cdot \cfrac{i}{\omega} e^{-i\omega x}\ dx \\ &=& x \cdot \cfrac{i}{\omega}e^{-i\omega x} - \cfrac{i}{\omega} \cdot \int e^{-i\omega x}\ dx \\ &=& x \cdot \cfrac{i}{\omega}e^{-i\omega x} - \cfrac{i}{\omega} \cdot \cfrac{i}{\omega}e^{-i\omega x} + C \\ &=& \left( i\cfrac{x}{\omega} + \cfrac{1}{\omega^2} \right) e^{-i\omega x} + C \end{eqnarray}\]であるから、
\[\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \int_{-\pi}^{-\pi/2} (-x-\pi) e^{-i\omega x}\ dx + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x e^{-i\omega x}\ dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-x+\pi) e^{-i\omega x}\ dx \\ &=& \left[ \cfrac{1}{\omega^2} (-i\omega x - 1 - i\omega\pi) e^{-i\omega x} \right]_{-\pi}^{-\pi/2} + \left[ \cfrac{1}{\omega^2} (i\omega x + 1) e^{-i\omega x} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} + \left[ \cfrac{1}{\omega^2} (-i\omega x - 1 + i\omega\pi) e^{-i\omega x} \right]_{\pi/2}^\pi \\ &=& \cfrac{1}{\omega^2} \left\{ \left( -i\cfrac{\pi\omega}{2}-1 \right) e^{i\omega\pi/2} - \left( -1 \right) e^{i\omega\pi} + \left( i\cfrac{\pi\omega}{2}+1 \right) e^{-i\omega\pi/2} - \left( -i\cfrac{\pi\omega}{2}+1 \right) e^{i\omega\pi/2} + \left( -1 \right) e^{-i\omega\pi} - \left( i\cfrac{\pi\omega}{2}-1 \right) e^{-i\omega\pi/2} \right\} \\ &=& \cfrac{1}{\omega^2} \left( e^{i\omega\pi} - 2e^{i\omega\pi/2} + 2e^{-i\omega\pi/2} - e^{-i\omega\pi} \right) \\ &=& \cfrac{1}{\omega^2} \left\{ \left(e^{i\omega\pi} - e^{-i\omega\pi}\right) - 2 \left(e^{i\omega\pi/2} - 2e^{-i\omega\pi/2} \right) \right\} \\ &=& \cfrac{i}{\omega^2} \left( \sin \omega\pi - 2\sin\cfrac{\omega\pi}{2} \right) \end{eqnarray}\]パワースペクトルは
\[\vert F(\omega) \vert^2 = \cfrac{1}{\omega^4} \left( \sin \omega\pi - 2\sin\cfrac{\omega\pi}{2} \right)^2\]位相 $\theta(\omega)$ は
\[\begin{eqnarray} \cos\theta(\omega) &=& \cfrac{\mathrm{Re}\ F(\omega)}{\vert F(\omega) \vert} = 0 \\ \sin\theta(\omega) &=& \cfrac{\mathrm{Im}\ F(\omega)}{\vert F(\omega) \vert} = \begin{cases} 1 \qquad &\mathrm{if}\quad \mathrm{Im}\ F(\omega) \ge 0 \\ -1 \qquad &\mathrm{if}\quad \mathrm{Im}\ F(\omega) \lt 0 \end{cases} \end{eqnarray}\]ここで $\mathrm{Im}\ F(\omega)$ の符号について考える。
\[\begin{eqnarray} \mathrm{Im}\ F(\omega) &=& \cfrac{1}{\omega^2} \left( \sin \omega\pi - 2\sin\cfrac{\omega\pi}{2} \right) \\ &=& \cfrac{1}{\omega^2} \left( 2\sin\cfrac{\omega\pi}{2}\cos\cfrac{\omega\pi}{2} - 2\sin\cfrac{\omega\pi}{2} \right) \\ &=& \cfrac{2}{\omega^2} \sin\cfrac{\omega\pi}{2} \left( \cos\cfrac{\omega\pi}{2} - 1 \right) \end{eqnarray}\]$\cos\cfrac{\omega\pi}{2} - 1 \le 0$ なので、$\mathrm{Im}\ F(\omega)$ の符号は $\sin\cfrac{\omega\pi}{2}$ の符号の逆となる。
以上により、$k$ を任意の0以上の整数として
\[\begin{eqnarray} &\sin\theta(\omega) = \begin{cases} 1 \qquad &\mathrm{if}\quad 4k+2 \lt \omega \le 4k+4 \\ -1 \qquad &\mathrm{if}\quad 4k \lt \omega \le 4k+2 \end{cases} \\ \Longrightarrow\quad& \theta(\omega) = \begin{cases} \cfrac{\pi}{2} \qquad &\mathrm{if}\quad 4k+2 \lt \omega \le 4k+4 \\ -\cfrac{\pi}{2} \qquad &\mathrm{if}\quad 4k \lt \omega \le 4k+2 \end{cases} \end{eqnarray}\]cf. 描画に使ったプログラム
\[\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}\ dx \\ &=& \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} e^{-i\omega x}\ dx \end{eqnarray}\]【例3】ガウス関数
\[f(x) = e^{-x^2}\]
両辺を $\omega$ で微分して右辺を部分積分すると、
\[\begin{eqnarray} \cfrac{dF(\omega)}{d\omega} &=& -i \int_{-\infty}^\infty x e^{-x^2} e^{-i\omega x}\ dx \\ &=& -i \int_{-\infty}^\infty \cfrac{d(-e^{-x^2})}{dx} e^{-i\omega x}\ dx \\ &=& -i \left\{ \left[ -e^{-x^2} e^{-i\omega x} \right]_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty (-e^{-x^2}) \cfrac{d(e^{-i\omega x})}{dx}\ dx \right\} \\ &=& -i \left\{ (0-0) - i\omega \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} e^{-i\omega x}\ dx \right\} \\ &=& -\omega F(\omega) \end{eqnarray}\]これは $F(\omega)$ に関する微分方程式になっており、解は
\[F(\omega) = F(0) e^{-\omega^2/2} = e^{-\omega^2/2} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\ dx\]この式の積分の部分はガウス積分であるから、公式
\[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2\sigma^2} dx = \sqrt{2\pi} \sigma\]に $\sigma = 1/\sqrt{2}$ を代入して、
\[F(\omega) = e^{-\omega^2/2} \cdot \sqrt{2\pi} \cdot \cfrac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/2}\]→ ガウス関数のフーリエ変換もガウス関数になる。
パワースペクトルは
\[\vert F(\omega) \vert^2 = \pi e^{-\omega^2}\]位相 $\theta(\omega)$ は
\[\begin{eqnarray} \cos\theta(\omega) &=& \cfrac{\mathrm{Re}\ F(\omega)}{\vert F(\omega) \vert} = 1 \\ \sin\theta(\omega) &=& \cfrac{\mathrm{Im}\ F(\omega)}{\vert F(\omega) \vert} = 0 \end{eqnarray}\]より $\theta(\omega) = 0$
cf. 描画に使ったプログラム