Technical Note - 微分積分の公式
微分の公式
n 次関数
\[\left( x^a \right)' = a x^{a-1} \qquad (a \ne 0)\]指数関数
\[\left( a^x \right)' = a^x \log a \qquad (a \ne 0)\] \[\left( e^x \right)' = e^x\]対数関数
\[\left( \log x \right)' = \cfrac{1}{x}\]関数の積
\[\left( f(x) g(x) \right)' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)\]関数の商
\[\left( \cfrac{f(x)}{g(x)} \right)' = \cfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\]三角関数
\[\left( \sin x \right)' = \cos x\] \[\left( \cos x \right)' = - \sin x\] \[\left( \tan x \right)' = \cfrac{1}{\cos^2 x}\]合成関数
\[\left( f(g(x)) \right)' = g'(x) f'(g(x))\]積分の公式
ガウス積分
【公式】
$a \gt 0$ として、
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\cfrac{\pi}{a}}\]
【証明】
求める積分を $I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ と置くと、
\[\begin{eqnarray} I^2 &=& \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx \int_{-\infty}^\infty e^{-ay^2} dy \\ &=& \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-a(x^2+y^2)} dx dy \end{eqnarray}\]ここで $x = r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ と置換すれば、
\[\begin{eqnarray} dxdy &=& \begin{vmatrix} \cfrac{\partial x}{\partial r} & \cfrac{\partial y}{\partial r} \\ \cfrac{\partial x}{\partial \theta} & \cfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} drd\theta = \begin{vmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -r\sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} drd\theta \\ &=& (r\cos^2\theta + r\sin^2\theta)drd\theta = r\ drd\theta \end{eqnarray}\]であるから、
\[\begin{eqnarray} I^2 &=& \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-ar^2} r\ dr d\theta \\ &=& 2\pi \int_0^\infty e^{-ar^2} r\ dr \\ &=& 2\pi \left[ -\cfrac{1}{2a} e^{-ar^2} \right]_0^\infty \\ &=& \cfrac{\pi}{a} \end{eqnarray}\]$I$ の被積分関数 $e^{-ax^2}$ は常に正のため $I\gt 0$ が成り立つ。したがって
\[I = \sqrt{\cfrac{\pi}{a}}\]三角関数の直交性
【公式】三角関数の直交性
異なる三角関数の積を共通の周期で積分するとゼロになる。
$n, m$ を異なる自然数とすれば、
\[\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} \sin mx \sin nx\ dx &=& 0 \tag{1} \\ \int_0^{2\pi} \cos mx \cos nx\ dx &=& 0 \tag{2} \\ \int_0^{2\pi} \sin mx \cos nx\ dx &=& 0 \tag{3} \\ \int_0^{2\pi} \sin mx \cos mx\ dx &=& 0 \tag{4} \end{eqnarray}\]
【証明】
三角関数の角の和の公式
\[\begin{eqnarray} \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \\ \sin 2\alpha &=& 2\sin\alpha \cos\alpha \\ \end{eqnarray}\]を使うと
\[\begin{eqnarray} \sin mx \sin nx &=& \cfrac{\cos(mx-nx) - \cos(mx+nx)}{2} \\ &=& \cfrac{\cos(m-n)x - \cos(m+n)x}{2} \\ \cos mx \cos nx &=& \cfrac{\cos(mx-nx) + \cos(mx+nx)}{2} \\ &=& \cfrac{\cos(m-n)x + \cos(m+n)x}{2} \\ \sin mx \cos nx &=& \cfrac{\sin(mx+nx) + \sin(mx-nx)}{2} \\ &=& \cfrac{\sin(m+n)x + \sin(m-n)x}{2} \\ \sin mx \cos mx &=& \cfrac{\sin2mx}{2} \end{eqnarray}\]であるから、それぞれ $0\le x \le 2\pi$ の範囲で積分して、
\[\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} \sin mx \sin nx\ dx &=& \cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{\sin(m-n)x}{m-n} - \cfrac{\sin(m+n)x}{m+n} \right]_0^{2\pi} \\ &=& \cfrac{\sin 2(m-n)\pi-\sin 0}{2(m-n)} - \cfrac{\sin 2(m+n)\pi-\sin 0}{2(m+n)} \\ &=& 0-0 = 0 \\ \int_0^{2\pi} \cos mx \cos nx\ dx &=& \cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{\sin(m-n)x}{m-n} + \cfrac{\sin(m+n)x}{m+n} \right]_0^{2\pi} \\ &=& \cfrac{\sin 2(m-n)\pi-\sin 0}{2(m-n)} + \cfrac{\sin 2(m+n)\pi-\sin 0}{2(m+n)} \\ &=& 0+0 = 0 \\ \int_0^{2\pi} \sin mx \cos nx\ dx &=& \cfrac{1}{2} \left[ -\cfrac{\cos(m+n)x}{m+n} - \cfrac{\cos(m-n)x}{m-n} \right]_0^{2\pi} \\ &=& -\cfrac{\cos 2(m+n)\pi-\cos 0}{2(m+n)} -\cfrac{\cos 2(m-n)\pi-\cos 0}{2(m-n)} \\ &=& -0-0 = 0 \\ \int_0^{2\pi} \sin mx \cos mx\ dx &=& \cfrac{1}{2} \left[ - \cfrac{\cos 2mx}{2m} \right]_0^{2\pi} \\ &=& - \cfrac{\cos 4m\pi - \cos 0}{2m} \\ &=& 0 \end{eqnarray}\]それぞれの最後の計算では、$m,n$ が自然数であるため
\[\begin{eqnarray} \sin 2(m+n)\pi &=& \sin 2(m-n)\pi &=& \sin 0 \\ \cos 2(m+n)\pi &=& \cos 2(m-n)\pi &=& \cos 0 \\ \cos 4m\pi &=& \cos 0 \end{eqnarray}\]となることを用いた。
【公式】三角関数の直交性その2
$n, m$ を異なる自然数とすれば、
\[\begin{eqnarray} \int_0^T \sin\cfrac{2m\pi x}{T} \sin\cfrac{2n\pi x}{T}\ dx &=& 0 \tag{1'} \\ \int_0^T \cos\cfrac{2m\pi x}{T} \cos\cfrac{2n\pi x}{T}\ dx &=& 0 \tag{2'} \\ \int_0^T \sin\cfrac{2m\pi x}{T} \cos \cfrac{2n\pi x}{T}\ dx &=& 0 \tag{3'} \\ \int_0^T \sin\cfrac{2m\pi x}{T} \cos\cfrac{2m\pi x}{T}\ dx &=& 0 \tag{4'} \end{eqnarray}\]
【証明】
$u = \cfrac{2\pi x}{T}$ と置換すれば、$(1)(2)(3)(4)$ と同じ積分になって同様に証明できる。