Technical Note - ポアソン方程式
定義
空間座標 $\boldsymbol{r}=(x,y,z)$ を変数に持つ関数 $u(\boldsymbol{r})=u(x,y,z)$ に関する偏微分方程式
\[\cfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \cfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} = f(x, y, z) \tag{1}\]を ポアソン方程式 という。
ベクトル微分演算子ナブラ $\nabla$ を以下の式で定義すると、
\[\nabla := \left( \cfrac{\partial}{\partial x}, \cfrac{\partial}{\partial y}, \cfrac{\partial}{\partial z} \right)\]$(1)$ は次のように表すこともできる。
\[\nabla^2 u = f(x,y,z) \tag{1'}\]ただし、
\[\nabla^2 := \nabla \cdot \nabla = \cfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2}{\partial y^2} + \cfrac{\partial^2}{\partial z^2}\]導出
前提
- $\rho(\boldsymbol{r})=\rho(x,y,z)$：何かしらの物理量の密度分布。距離に反比例する大きさの位置エネルギーを与える（比例定数：$k$）
- $u(\boldsymbol{r})=u(x,y,z)$：点 $\boldsymbol{r}=(x,y,z)$ における位置エネルギー
一般のポアソン方程式
点 $\boldsymbol{r’}=(x’,y’,z’)$ における密度分布 $\rho(\boldsymbol{r’})$ が点 $\boldsymbol{r}=(x,y,z)$ に生じさせる位置エネルギー $\Delta u(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r’})$ は、
\[\Delta u(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r'}) = \cfrac{k \rho(\boldsymbol{r'})}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert} \tag{2}\]$u(\boldsymbol{r})$ はこれを全空間の $\boldsymbol{r’}$ に関して積分すれば得られるので、
\[\begin{eqnarray} u(\boldsymbol{r}) &=& \int_V \Delta u(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r'}) d\boldsymbol{r'} \\ &=& k \int_V \cfrac{\rho(\boldsymbol{r'})}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert} d\boldsymbol{r'} \tag{3} \end{eqnarray}\]ここで、$\int_V$ は空間全体の積分を表す：
\[\int_V f(\boldsymbol{r'}) d\boldsymbol{r'} = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(\boldsymbol{r'}) dx' dy' dz'\]$(3)$ を $x$ で偏微分すると、
\[\begin{eqnarray} \cfrac{\partial u}{\partial x} &=& k \int_V \rho(\boldsymbol{r'}) \cfrac{\partial}{\partial x} \left( \cfrac{1}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert} \right) d\boldsymbol{r'} \\ &=& k \int_V \rho(\boldsymbol{r'}) \cfrac{\partial}{\partial x} \left( \cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} \right) d\boldsymbol{r'} \\ &=& k \int_V \rho(\boldsymbol{r'}) \cfrac{x-x'}{\left(\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}\right)^3} d\boldsymbol{r'} \\ &=& k \int_V \rho(\boldsymbol{r'}) \cfrac{x-x'}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} d\boldsymbol{r'} \tag{4} \end{eqnarray}\]$y,z$ についても同様に計算できるので、
\[\nabla u = \left( \cfrac{\partial u}{\partial x}, \cfrac{\partial u}{\partial y}, \cfrac{\partial u}{\partial z} \right) = k \int_V \rho(\boldsymbol{r'}) \cfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} d\boldsymbol{r'} \tag{5}\]よって
\[\nabla^2 u = \nabla \cdot \nabla u = k \int_V \rho(\boldsymbol{r'}) \nabla \cdot \cfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} d\boldsymbol{r'} \tag{6}\]ここで、中心が $\boldsymbol{r}$ で微小な半径 $\varepsilon$ を持つ球面 $S’: \vert \boldsymbol{r’}-\boldsymbol{r} \vert = \varepsilon$ を考え、この球面の内部 $V_\mathrm{in}: \vert \boldsymbol{r’}-\boldsymbol{r} \vert \lt \varepsilon$ と 外部 $V_\mathrm{out}: \vert \boldsymbol{r’}-\boldsymbol{r} \vert \ge \varepsilon$ とで積分範囲を分ける。
半径 $\varepsilon$ は微小であり、球の内部 $V_\mathrm{in}$ においては $\rho(\boldsymbol{r’})$ はほぼ均一とみなせる（$\rho(\boldsymbol{r’}) \simeq \rho(\boldsymbol{r})$）ので、
球面の外部 $V_\mathrm{out}$ では $\vert \boldsymbol{r’}-\boldsymbol{r} \vert \ne 0$ であるから、非積分関数の分母はゼロにならない。
$(4)$ をもう一度 $x$ で偏微分すると、
であり、$y,z$ についても同様なので、
\[\begin{eqnarray} \int_{V_\mathrm{out}} \rho(\boldsymbol{r'}) \nabla \cdot \cfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} d\boldsymbol{r'} &=& \int_{V_\mathrm{out}} \rho(\boldsymbol{r'}) \cfrac{ 3 \vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^2 - 3 \left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\} }{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^5} d\boldsymbol{r'} \\ &=& \int_{V_\mathrm{out}} \rho(\boldsymbol{r'}) \cfrac{ 3 \vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^2 - 3 \vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^2 }{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^5} d\boldsymbol{r'} \\ &=& 0 \tag{9} \end{eqnarray}\]これを $(7)$ に代入して、
\[\nabla^2 u = k \rho(\boldsymbol{r}) \int_{V_\mathrm{in}} \nabla \cdot \cfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} d\boldsymbol{r'} \tag{10}\]ここで、ガウスの発散定理を適用するため、偏微分の置き換えを行う。$(8)$ の途中計算と同様の計算により、
\[\begin{eqnarray} \cfrac{\partial}{\partial x} \left( \cfrac{x-x'}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} \right) &=& \cfrac{ \vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^2 - 3(x-x')^2 }{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^5} \\ \cfrac{\partial}{\partial x'} \left( \cfrac{x-x'}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} \right) &=& - \cfrac{ \vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^2 - 3(x-x')^2 }{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^5} \end{eqnarray}\]であるから、
\[\cfrac{\partial}{\partial x} \left( \cfrac{x-x'}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} \right) = - \cfrac{\partial}{\partial x'} \left( \cfrac{x-x'}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} \right)\]$y’,z’$ の偏微分についても同様なので、
\[\nabla \cdot \cfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} = - \nabla' \cdot \cfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} \qquad \left( \nabla' := \left( \cfrac{\partial}{\partial x'}, \cfrac{\partial}{\partial y'}, \cfrac{\partial}{\partial z'} \right) \right) \tag{11}\]これを $(10)$ に代入して、
\[\nabla^2 u = - k \rho(\boldsymbol{r}) \int_{V_\mathrm{in}} \nabla' \cdot \cfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} d\boldsymbol{r'} \tag{12}\]ガウスの発散定理より、任意のベクトル関数 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r})$ の発散 $\nabla \cdot \boldsymbol{f}(\boldsymbol{r})$ のなめらかな閉曲面内の空間積分 $\int_V$ は、その閉曲面上の面積分 $\int_S$ に書き換えることができる：
\[\int_V \nabla \cdot \boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}) d\boldsymbol{r} = \int_S \boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}) dS \tag{13}\]- $dS$：閉曲面上の微小面積
- $\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})$：閉曲面上の点 $\boldsymbol{r}$ における外向き法線単位ベクトル
これを $(12)$ に適用する。球面 $S’$ 上の点 $\boldsymbol{r’}$ における外向き法線単位ベクトルは
\[\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r'}) = \cfrac{\boldsymbol{r'}-\boldsymbol{r}}{\vert \boldsymbol{r'}-\boldsymbol{r} \vert}\]なので、
\[\begin{eqnarray} \nabla^2 u &=& -k \rho(\boldsymbol{r}) \int_{V_\mathrm{in}} \nabla' \cdot \cfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} d\boldsymbol{r'} \\ &=& -k \rho(\boldsymbol{r}) \int_{S'} \cfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r'}) dS' \\ &=& -k \rho(\boldsymbol{r}) \int_{S'} \cfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^3} \cdot \cfrac{\boldsymbol{r'}-\boldsymbol{r}}{\vert \boldsymbol{r'}-\boldsymbol{r} \vert} dS' \\ &=& k \rho(\boldsymbol{r}) \int_{S'} \cfrac{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^2}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^4} dS' \\ &=& k \rho(\boldsymbol{r}) \int_{S'} \cfrac{1}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert^2} dS' \\ &=& \cfrac{k \rho(\boldsymbol{r})}{\varepsilon^2} \int_{S'} dS' \qquad \left( \because \vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \vert = \varepsilon \right) \end{eqnarray}\]最後の式の積分は閉曲面 $S’$ すなわち半径 $\varepsilon$ の球面の面積であるから、値は $4\pi \varepsilon^2$。
したがって、
$f(\boldsymbol{r}) := 4 \pi k \rho(\boldsymbol{r})$ と置けば、ポアソン方程式 $(1’)$ を得る。
密度分布が球対称である場合のポアソン方程式
点 $\boldsymbol{r}_0 = (x_0,y_0,z_0)$ を中心に球対称な密度分布の場合を考える。
\[\boldsymbol{r'} := \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0 , \quad r' := \vert \boldsymbol{r'} \vert = \vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0\vert\]とおくと、空間の対称性から、$f,u$ はともに $r’$ のみに依存する関数：
\[f(\boldsymbol{r}), u(\boldsymbol{r}) \longrightarrow f(r'), u(r')\]$u(r’)$ の $x$ 微分を考えると、
\[\begin{eqnarray} \cfrac{\partial u}{\partial x} &=& \cfrac{\partial u}{\partial r'} \cfrac{\partial r'}{\partial x} \\ &=& \cfrac{d u}{d r'} \cfrac{\partial}{\partial x} \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2} \\ &=& \cfrac{d u}{d r'} \cfrac{x-x_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}} \\ &=& \cfrac{d u}{d r'} \cfrac{x-x_0}{r'} \end{eqnarray}\]もう一度 $x$ で微分すると、
\[\begin{eqnarray} \cfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} &=& \cfrac{\partial}{\partial x} \left( \cfrac{d u}{d r'} \cfrac{x-x_0}{r'} \right) \\ &=& \cfrac{\partial}{\partial x} \left( \cfrac{d u}{d r'} \right) \cfrac{x-x_0}{r'} + \cfrac{d u}{d r'} \cfrac{\partial}{\partial x} \left( \cfrac{x-x_0}{r'} \right) \\ &=& \cfrac{\partial}{\partial r'} \left( \cfrac{d u}{d r'} \right) \cfrac{\partial r'}{\partial x} \cfrac{x-x_0}{r'} + \cfrac{d u}{d r'} \left( \cfrac{1}{r'} - \cfrac{(x-x_0)^2}{r'^3} \right) \\ &=& \cfrac{d^2 u}{d r'^2} \cfrac{(x-x_0)^2}{r'^2} + \cfrac{d u}{d r'} \left( \cfrac{1}{r'} - \cfrac{(x-x_0)^2}{r'^3} \right) \end{eqnarray}\]$y,z$ についての微分も同様であるから、
\[\begin{eqnarray} \nabla^2 u &=& \cfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \cfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} \\ &=& \cfrac{d^2 u}{d r'^2} \cfrac{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}{r'^2} + \cfrac{d u}{d r'} \left( \cfrac{3}{r'} - \cfrac{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}{r'^3} \right) \\ &=& \cfrac{d^2 u}{d r'^2} \cfrac{r'^2}{r'^2} + \cfrac{d u}{d r'} \left( \cfrac{3}{r'} - \cfrac{r'^2}{r'^3} \right) \\ &=& \cfrac{d^2 u}{d r'^2} + \cfrac{2}{r'} \cfrac{d u}{d r'} \\ &=& \cfrac{1}{r'} \cfrac{d^2}{d r'^2} \left( r'u(r') \right) \end{eqnarray}\]したがって、点 $\boldsymbol{r}_0 = (x_0,y_0,z_0)$ を中心に球対称な密度分布のけるポアソン方程式は
\[\cfrac{1}{r'} \cfrac{d^2}{d r'^2} \left( r'u(r') \right) = f(r') \tag{14}\]一般解
$f(x,y,z)$ の形や境界条件によって異なるため、一般解を求めることは難しい。
境界条件と特殊解
特殊解の例
球内に一様分布している場合
点 $\boldsymbol{r}_0 = (x_0,y_0,z_0)$ を中心とする半径 $a$ の球面内部で一様な密度分布：
\[f(\boldsymbol{r}) = \begin{cases} f_0 & \qquad \mathrm{if} \ & r' = \vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0 \vert \le a \\ 0 & \qquad \mathrm{if} \ & r' = \vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0 \vert \gt a \end{cases}\]境界条件：
\[\begin{cases} \displaystyle \lim_{r'\to \infty} u(r') &=& 0 \\ \\ \displaystyle \lim_{r'\to 0} u(r') &\ne& \pm \infty \\ \\ \displaystyle \lim_{r'\to a+0} u(r') &=& \displaystyle \lim_{r'\to a-0} u(r') \\ \\ \displaystyle \lim_{r'\to a+0} \cfrac{d u(r')}{d r'} &=& \displaystyle \lim_{r'\to a-0} \cfrac{d u(r')}{d r'} \end{cases}\]
- 第1式：無限遠で $u(r’)$ がゼロ
- 第2式：点 $\boldsymbol{r}_0$ で $u(r’)$ が発散しない
- 第3式：境界となる球面において $u(r’)$ が滑らかに連続（値が一致）
- 第4式：境界となる球面において $u(r’)$ が滑らかに連続（勾配が一致）
ポアソン方程式 $(14)$ を立てて解くと、
\[\begin{eqnarray} &\begin{cases} \cfrac{1}{r'} \cfrac{d^2}{d r'^2} \left( r'u(r') \right) &=& f_0 & \qquad \mathrm{if} \ & r' \le a \\ \cfrac{1}{r'} \cfrac{d^2}{d r'^2} \left( r'u(r') \right) &=& 0 & \qquad \mathrm{if} \ & r' \gt a \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \ &\begin{cases} \cfrac{d^2}{d r'^2} \left( r'u(r') \right) &=& f_0 r' & \qquad \mathrm{if} \ & r' \le a \\ \cfrac{d^2}{d r'^2} \left( r'u(r') \right) &=& 0 & \qquad \mathrm{if} \ & r' \gt a \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \ &\begin{cases} r'u(r') &=& \cfrac{f_0}{6} r'^3 + C_1 r' + C_2 & \qquad \mathrm{if} \ & r' \le a \\ r'u(r') &=& D_1 r' + D_2 & \qquad \mathrm{if} \ & r' \gt a \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \ &\begin{cases} u(r') &=& \cfrac{f_0}{6} r'^2 + C_1 + \cfrac{C_2}{r'} & \qquad \mathrm{if} \ & r' \le a \\ u(r') &=& D_1 + \cfrac{D_2}{r'} & \qquad \mathrm{if} \ & r' \gt a \end{cases} \end{eqnarray}\]ここで、$C_1, C_2, D_1, D_2$ は積分定数。
境界条件を全て適用すると、
\[\begin{cases} \displaystyle \lim_{r'\to \infty} \left( D_1 + \cfrac{D_2}{r'} \right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle \lim_{r'\to 0} \left( \cfrac{f_0}{6} r'^2 + C_1 + \cfrac{C_2}{r'} \right) &\ne& \pm \infty \\ \\ \displaystyle \lim_{r'\to a+0} \left( D_1 + \cfrac{D_2}{r'} \right) &=& \displaystyle \lim_{r'\to a-0} \left( \cfrac{f_0}{6} r'^2 + C_1 + \cfrac{C_2}{r'} \right) \\ \\ \displaystyle \lim_{r'\to a+0} \left( -\cfrac{D_2}{r'^2} \right) &=& \displaystyle \lim_{r'\to a-0} \left( \cfrac{f_0}{3} r' - \cfrac{C_2}{r'^2} \right) \end{cases}\]第1式より $D_1=0$、第2式より $C_2 = 0$ なので、これらを第3,4式に代入して、
\[\begin{eqnarray} & \begin{cases} \displaystyle \lim_{r'\to a+0} \cfrac{D_2}{r'} &=& \displaystyle \lim_{r'\to a-0} \left( \cfrac{f_0}{6} r'^2 + C_1 \right) \\ \\ \displaystyle \lim_{r'\to a+0} \left( -\cfrac{D_2}{r'^2} \right) &=& \displaystyle \lim_{r'\to a-0} \cfrac{f_0}{3} r' \end{cases} \\ \\ \Longleftrightarrow \quad & \begin{cases} \cfrac{D_2}{a} &=& \cfrac{f_0}{6} a^2 + C_1 \\ \\ -\cfrac{D_2}{a^2} &=& \cfrac{f_0}{3} a \end{cases} \end{eqnarray}\]これを解くと、
\[D_2 = - \cfrac{f_0 a^3}{3} ,\quad C_1 = - \cfrac{f_0 a^2}{2}\]以上により、
\[\begin{cases} u(r') &=& \cfrac{f_0 r'^2}{6} - \cfrac{f_0 a^2}{2} & \qquad \mathrm{if} \ & r' \le a \\ u(r') &=& - \cfrac{f_0 a^3}{3r'} & \qquad \mathrm{if} \ & r' \gt a \end{cases}\]$\boldsymbol{r}$ の表式で書くと、
\[\begin{cases} u(\boldsymbol{r}) &=& \cfrac{f_0 \vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0 \vert^2}{6} - \cfrac{f_0 a^2}{2} & \qquad \mathrm{if} \ & \vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0 \vert \le a \\ u(\boldsymbol{r}) &=& - \cfrac{f_0 a^3}{3\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0 \vert} & \qquad \mathrm{if} \ & \vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0 \vert \gt a \end{cases}\]$f_0=1, a=10$ の場合の $u(r’)$ を描画：