用語の定義

実部・虚部

複素数

\[z = x+iy\qquad(x, y \in \mathbb{R})\]

に関して $x,y$ をそれぞれ 実部、虚部 といい、

\[\begin{eqnarray} x &=& \mathrm{Re}\ z \\ y &=& \mathrm{Im}\ z \end{eqnarray}\]

とも書く。

共役複素数

虚部の符号だけが異なる2つの複素数

\[\begin{eqnarray} z = x + iy \\ \bar{z} = x - iy \end{eqnarray}\]

を互いに 共役である といい、$z$ を $\bar{z}$ の、$\bar{z}$ を $z$ の 共役複素数 という。

絶対値

複素数の絶対値 $\vert z \vert$ は以下のように計算され、0以上の実数値になる。

\[\vert z \vert^2 = z \bar{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2\]

複素平面

複素数 $z = x + iy$ の実部 $x$ を横軸、虚部 $y$ を縦軸にとって平面座標上で表したものを 複素平面 という。図の $\theta$ は $-1+2i$ の偏角（後述）。

plt.xlabel('Re')
plt.ylabel('Im')
plt.scatter(0,0,color='black')
plt.plot([0,-1], [0,2], color='black', lw=2)
plt.plot([0,2], [0,0], color='black', lw=2)
for x, y in [(-1, 2), (2,1), (4,0), (0,3), (-2, -2)]:
    plt.scatter(x,y,label='${}+{}i$'.format(x,y))

plt.text(0, 0.1, r'$\theta$', size=20)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

複素数の極形式

複素数 $z$ を複素平面上にプロットした時、ベクトル $\vec{z} = (x, y)$ が横軸となす角 $\theta$ （横軸から左回りを正として定義）を 偏角 といい、$\theta = \mathrm{arg}\,z$ とも書く。

たとえば $z = -1+2i$ に関して

\[\begin{eqnarray} \sin \theta &=& \cfrac{2}{\sqrt{(-1)^2+2^2}} = \cfrac{2}{\sqrt{5}} \\ \cos \theta &=& \cfrac{-1}{\sqrt{(-1)^2+2^2}} = -\cfrac{1}{\sqrt{5}} \end{eqnarray}\]

この偏角 $\theta$ と絶対値 $r := \vert z \vert$ を用いて、$z$ を

\[z = r (\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}\]

と表すことができる。これを 極形式 という。
ここで、最後の変形では オイラーの公式

\[e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\]

を用いた。